226
Sechster Teil. Analytische Approximationen.
1+
+ (²) x + (¹) x² +
für x1
nachzuweisen.
Die gegebene Reihe wird absolut genommen:
1
1+
Р
1
| x+
p p 1
1
| x |² +
2
Das (1) Glied entsteht aus dem hten durch Multiplikation mit:
p+1
h+1
1 x |
=
Ini
für große h gibt es sicher eine Zahl g <1, so daß für alle folgen-
den h stets q, <q ist, also wird:
3
Q n + In In + 1 + ·· < q + q² + q³ + ...
+1
Also ist:
<
q
•
q
91 9h-11
1 + ( x + ... < 1 + 90 + 90 21+ ··· +QoL 1 ··· In-1 1-q'
+)
womit die Konvergenz der Reihe bewiesen ist.
Ferner ist identisch mit Rücksicht auf die Relation (4):
+(?)
x +
•
·) (1 + (1) x + ·
•
· · )
)
-
= 1 + (P + 2)
+9)
x +
(5)
Daraus ergibt sich für qp
(1 + (2) x + · · · ) (1 + (−2) x + · · · ) − 1,
P
=
also mit Rücksicht auf (1 + x)" (1 + x)" = 1, daß aus der Gültigkeit
des Satzes für einen Exponenten auch die Gültigkeit für den nega-
tiven Exponenten folgt. Noch ist zu zeigen, daß die Reihe stets
positiv, und zwar für positive px größer, für negative pr kleiner als
1 ist. Mit Rücksicht auf die Gleichung
.
1 + (?) x + · · · ) (1 + (˜¯¯ ₤2) x + · · · )
) = 1
braucht man das nur entweder für positive oder für negative p zu
beweisen. Für negatives p und negatives x sind aber alle Glieder der
Reihe positiv, also die Reihe > 1. Für positive p und positive x
sei p zwischen den ganzen Zahlen h und h-1 gelegen; dann sind
die Glieder bis zu () positiv, von da ab wechselnd positiv und
negativ. Je zwei solche aufeinanderfolgende Glieder, deren erstes
positiv ist, geben:
p
+1
x*
-
P+
() x + ( 1 ) x² + 1 = (1) x ( 1 + x 2 − ) = ( )(1 − x + 1) + ¦ x),
+
k +
k + 1