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Sechster Teil. Analytische Approximationen.
WO
-
2
-4
S₁ = s" — [ " ] s" − ² p + p² — · · ·,
n
- ·
sn.
[2] =
-
n (n − h − 1) (n
h
h!
2) (n 2h+1)
(2)
(3)
gesetzt ist.
Wir beweisen diese Gleichung (2) durch den Schluß von n auf
n+1; zunächst ist:
ferner (s. u.):
also:
n
--
n h
h
[C]-("")+(""),
h+
=
("-"+1)=
n
-
+
h
n-
h-1
("=") + ( − ¹),
N-
h
h
n
!= '") + ("
h
n-
h
["] = [] += }}]}
2
"
·
(3a)
Dies vorausgeschickt nehmen wir an, es sei bereits die Gleichung
bewiesen:
n
-
Sn
sn
2
n
4
]s”-¹p² + ·
ዝ
dann ist nach (1):
Sn+1
= S. S
n
- psπ-1
oder nach (4):
=
5n+1
Sn
n+1
S" +1
- [ 1 ]s" - ¹ p
-1
+
[
2 ]
sn
[2] s-3 p².
s" - ¹ p
+ ["
=
-1
-3
-
¹]s" - ³ p² -
Sn- ·³ p² — . . .
-3
[ " + 1] s - ¹ p + [ " + 1] s −3 p².
also gilt die Gleichung (2) auch für (n+1) und demnach allgemein,
da ja für n = 2:
ist.
S2
s2 - [i]P
Das wenden wir an zur Berechnung von Wurzeln aus komplexen
Zahlen.
Wir setzen:
g+ ir = x,
น
so daß:
v q- ir = y,
να
p = xy = √ q² + r²