Kapitel I. Algebraische Hilfssätze.
219
-
...
Setzt man f(x) = (x − x₁) (x — X₂) ··· (x-x), so wird:
-
-
-
f'(x) = (x — X。) (X— X3) · · · (X — Xn) + (x − x₁) (x − xz) · · · (x — Xn) + ·.
also:
-
...
-
ƒ′(x₁) = (x₁ — X¸) (X₁
-
· · + (x — X₁) (x−X2) · · · ( X — Xn−1),
----
— X3) · · · (X₁— X„),
---
ƒ′ (X2) = (X2— X₁) (X2 — X3) ··· (X2—X),
f'
(X'n
f'(x) = (x„— x₁) (X— X2)··· (X„— In−1),
n
also kann man die obige Formel schreiben:
g(x) g(x) 1
f(x) f'(x₁) x
=
g(x) 1
f'(x)
+
+ +
x-Xq
X1
Ꮖ .
1
g(xn)
f'(xn) x xn
-
In dieser Form repräsentiert die Formel die Zerlegung der ge-
brochenen Funktion
g(x)
f(x)
in Partialbrüche, deren Nenner x-x₁,
X-X21 xx, die einzelnen Linearfaktoren von f(x) sind.
-
n
Durch die Lagrangesche Interpolationsformel wird g(x) voll-
kommen bestimmt, wenn an n verschiedenen Stellen die Werte von
g(x) gegeben sind. Ist g(x) von höherem als dem (n-1)ten Grade,
so wird durch dieselbe Formel die Funktion g(x) mit Hilfe der
Werte, die sie an den n Stellen x1, x2,..., x, hat, näherungsweise
durch eine Funktion (n-1)ten Grades dargestellt¹); dies ist eine inter-
polierende Approximation.
n
Allgemeiner läßt sich eine Funktion bzw. genau oder approxi-
mativ darstellen durch die Werte, die sie und ihre Ableitungen an
gegebenen Stellen und an jeder bis zu bestimmten Ordnungen hin
annehmen.)
Wurzeln aus komplexen Zahlen, Moivresche Gleichungen,
Cardanische Formel.
Wir setzen:
dann ist identisch:
Sn
x + y
=
S,
xy = p,
x² + y² = Sn,
Sn-1s+ Psn - 2 0.
(1)
Hierdurch können die Größen S2, S3, S4, ... sukzessive aus den beiden
Größen s, p berechnet werden. Statt aus dieser Rekursionsformel kann
man s aus der independenten Gleichung berechnen:
n
1) J. L. Lagrange, Oeuvres 5, p. 517, 663; 7, p. 535.
2) S. Hermite, Crelles J. 84 (1877), p. 70. Die von Zemplén (Arch. d.
Math. u. Phys. (3) 8 (1904), p. 214) gegebene Formel ist falsch.