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Sechster Teil. Analytische Approximationen.
mit Rücksicht auf (œ*)'= ka*-¹, (kak−1)'= k(k−1)a-2, usw. schreiben:
દુઃ
(« + §)* = a* + (a*)' §; + («²)'' §* + (œ*)''' §. + ··· + (ec©)(t)
1!
2!
3!
*
k!
Multiplizieren wir diese mit einem Zahlenfaktor a, geben k die
Werte von 0 bis n und summieren die so entstehenden Gleichungen,
so bekommen wir:
a。 + a₁ (α + §) + α½ (α + §)² + + a₂ (α + §) n
ૐ
= (α₂+α₁α +ª‚«² + ··· +ª¸α”) + — (α¸+2ª¸α + ··· +na„œ“−¹) +
oder, wenn
+ana")+ 1!
=
а。 + α₁ x + αq x² + ··· + a „x” = f(x)
...
gesetzt wird:
・n
f(a + §) = f(a) + ¸¡ ƒ′(a) + ½ [ƒ”(«) + ·
:f" (α)
.
+ = f(n) (a).
1!
2!
“
n!
Das ist die sogenannte Taylorsche Formel¹); sie geht durch die Sub-
stitution:
α + &
= x
über in:
f' (a)
f" (c)
f(x) = f(α) +
-
1!
(x − α) +
-
¹) ( x − α)² +· · · ·
(x
f(") (α)
+
2!
n!
(x — α)".
Eine Funktion f(x) von höherem als nten Grade wird durch
diese Formel
f(x) + f'(x) (x − α) + · · · + f (¹) (α)
(x — α)"
n!
näherungsweise dargestellt, und zwar in der Weise, daß die Nähe-
rungsformel an der Stelle xa den richtigen Wert für f(x) und die
Ableitungen bis zur nten Ordnung einschließlich gibt, oder, daß die
Gleichung
die
(x
f(x) = f(a) + f'(x) (x − α) + ··· + f(") (α)
n!
(n+1)-fache Wurzel xa hat. Wir nennen das: oskulierende
Approximation der Ordnung n.
Es sei g(x) eine ganze Funktion vom Grade <n. Wir be-
trachten die Gleichung (Lagranges Interpolationsformel):
(X ·
I (x) = (x — X₂) (x — X3) · · · (X — Xn)
...
(X1 — X¸) (X1 — X3 ) · · · (X1 — xn) ·
+
9(x₁) +
-
·
(X — X₁ ) (X — X3 ) · · · (X — X„)
(X2 — X1 ) (X2 — X3) · · · (X 2 ¯
-
(x — x₁) (x — x₂) · · · (x — xn−1) g(x),
(Xn — X₁) (Xn — Xq) · · · (X´n´
die offenbar erfüllt ist, wenn wir darin
n-
X = X1, X2, Xz,, Xn
einsetzen, also mit Rücksicht auf S. 215 identisch gilt.
-X
· g(x₂) + ··
1) Brook Taylor, Methodus incrementorum directa et inversa. London 1717.
Cap. 97.