Kapitel I. Algebraische Hilfssätze.
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Mehrfache Teiler.
Von der Ableitung machen wir folgende wichtige Anwendung:
Angenommen, f enthalte die irreduzible Funktion g in der ten und
keiner höheren Potenz als Faktor:
f=gh,
wo also h nicht durch g teilbar ist; dann folgt aus:
f"= g″-¹(rhg'+gh'),
daß die irreduzible Funktion g in f' gerade (r-1)-mal enthalten
ist. Der Faktor (rhg' + gh') kann nämlich nicht durch g teilbar sein,
da h zu g teilerfremd ist, während der Grad von g um eine Einheit
kleiner ist als g. Also ist f" gerade durch g'-¹ teilbar.
1
Insbesondere, wenn mit f der Gemeinteiler höchsten Grades
ist f, sicherlich durch g-1 teilbar,
f'
von g; folglich ist eine ganze
f₁
von fund f bezeichnet wird, so
aber durch keine höhere Potenz
durch g nicht teilbare Funktion. Dasselbe gilt für jeden irreduktiblen
Faktor von f; also ist durch keinen Faktor von f teilbar.
f'
f₁
Umgekehrt, ist der höchste Gemeinteiler von f und f', den man
übrigens nach Kronecker mit (f, f′) zu bezeichnen pflegt, durch g″-1
teilbar, also etwa (f, f') = g″-¹h, wo g eine irreduzible Funktion
und h₁ nicht mehr durch g teilbar ist, so folgt, daß ƒ durch g', aber
durch keine höhere Potenz von g teilbar ist. Denn, sei
so wird
f=gr-¹k,
f' = g″ -²((r — 1)g′k+gk′),
wo nun der Klammerausdruck und damit k durch g teilbar sein muß,
d. h. es muß f mindestens durch g' teilbar sein, während aus dem
vorhin bewiesenen Satz folgt, daß f durch keine höhere als die te
Potenz von g teilbar sein kann. Daraus ergibt sich dann der wichtige
Satz: Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß f und
f' teilerfremd sind, besteht darin, daß f keine mehrfachen Teiler
besitzt.
Formeln von Taylor und Lagrange.
Von der Ableitung machen wir eine andere wichtige Anwendung.
Zunächst ist der Begriff einer Ableitung höherer Ordnung einzuführen.
Die zweite Ableitung einer Funktion ist die Ableitung der ersten
Ableitung; ebenso ist die dritte Ableitung die Ableitung der zweiten
Dann können wir die Binomialformel, die wir weiter unten
beweisen:
k
(α + §) * = a* + ¹² a^− 1 g + k (k − 1 )
1
1.2
+ हुए