Sechster Teil:
Analytische Approximationen.
Kapitel I.
Algebraische Hilfssätze.
Wurzeln und Linearteiler.
Die Summationsformel der geometrischen Reihe
x" -y"
x
y
1
= ст + xn−²y + xn−3 y² + +yn-1
liefert für ganze Funktionen":
f(x) = a + bx + cx² + · · +kx"
die Formel:
-
f(x) — f(y)
=b+c(x + y)+d(x² + xy + y²) + · · ··
x
-
y geteilt eine ganze Funktion von x.
Ist also y eine Wurzel der Gleichung f(y) = 0, so ist f(x) durch
Sind X1, X2,
-―
-
ཀ༦
Wurzeln von f(x) = 0, so ist also f(x) durch (x − x₁) (x − x2)
(x-x) teilbar, also:
-
f(x) = k (x − x₁) (x — X₂) · · · (x — Xn) ·
N-
Eine nicht identisch erfüllte Gleichung nten Grades kann mithin
nicht mehr als n Wurzeln haben.
Ableitung.
Jeder ganzen Funktion f(x) wird eine ganze Funktion f(x),
ihre „Ableitung" 1) eindeutig derart zugeordnet, daß die Gleichungen
gelten *):
1) Von Crelle eingeführt; richtiger wäre,,Abgeleitete" (sc. Funktion).
2) Die folgende formale Theorie der Ableitung (s. Vahlen, Acta math. 21
(1897), p. 294) ist in den Elementen völlig ausreichend. Sie genügt z. B. für
die Theorie der Doppelwurzeln, Maxima und Minima, Tangenten, Wendepunkte,
Krümmungen usw.