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Fünfter Teil. Numerische Approximationen.
m die Mittelordinate JF ist; das ist die bekannte Simpsonsche
Formel.
Auch diese Formel hatte schon J. Gregory.¹) Bekanntlich ist sie
H
F
G
D
E
m
a
B
C'
D
B'
d
B
die zweite einer ganzen Reihe ähnlicher Formeln von Cotes); die
dritte, die sogenannte - Regel heißt: ABCD gleich:
3 h(a+3b+3c+d);
h
2
und noch vor der Simpsonschen Formel hat ihren Platz die Trapez-
formel: Inhalt AB'C'D gleich (a+b). Diese Formeln, bei denen
die Fläche durch äquidistante Ordinaten in Trapeze zerschnitten wird,
haben ihren Ursprung in der Integralrechnung; sie werden meist be-
quemer sein als die obigen aus ein- und umbeschriebenen Polygonen,
welche bei Sektoren und Polarkoordinaten zweckmäßig sind. Gauss³)
hat ermittelt, wie die Distanzen zwischen den Ordinaten am vorteil-
haftesten zu wählen sind. So hat man z. B. in der Trapezformel
h
12/12(1+1)
(a b)
für a und b vorteilhafter nicht die Endordinaten, sondern die um
0,21... h von ihnen entfernten zu wählen; und die Simpsonsche
Formel ist zu ersetzen durch
h
18
(5a + 8m + 5b),
WO
a und b von den Endordinaten um 0,11...h entfernt sind.
Tcheby cheff¹) ermittelt für Formeln der Art:
1) Methodus componendi tabulas... in den Excercitationes geometricae.
Vgl. hierzu G. Heinrich, Bibl. math. (3) 1 (1900), p. 90.
2) Harmonia mensurarum 1722.
3) Werke III, p. 163.
4) Liouv. J. (2) 19 (1874), p. 19
Lambert 1. c. II, p. 276 ff.
=
Oeuvres II (Petersburg 1907), p. 163.