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Fünfter Teil. Numerische Approximationen.
Analoge Formeln lassen sich bei Verwendung von mehr als zwei
Polygonen aufstellen. Andererseits lassen diese Formeln eine Ver-
allgemeinerung in der Weise zu, daß das arithmetische Mittel durch
das harmonische oder geometrische Mittel ersetzt wird, noch all-
gemeiner durch das te Potenzmittel. Für die direkte Berechnung ist
das arithmetische, für die logarithmische Rechnung das geometrische
Mittel das bequemste, aber eines der anderen Mittel kann eine bessere
Approximation liefern; so erhält man z. B. für den Umfang für m = n
aus dem allgemeinen Potenzmittel:
√/2ur + Ur
3
4
5
eine schärfere Approximation bei Kreisbogen für r — — dieser Wert
ist zugleich die Grenze zwischen denjenigen Mitteln, welche eine An-
näherung von unten (r<- ;) und denjenigen, welche eine Annähe-
rung von oben (r>--) ergeben. Ebenso liefert für den Inhalt
eines Kreissektors bzw. -segments:
2J+i
3
die beste Annäherung für r=
liefern untere, diejenigen für r>-
1
;
und die Mittel für r
obere Näherungswerte.
Beliebige Kurven.
Wie schon erwähnt reichen diese Formeln über die bloße Kreis-
messung hinaus, sie gelten vielmehr für beliebige Kurven.
R
Es sei nämlich OP ein Bogen einer
beliebigen Kurve. Man wähle O zum An-
fangspunkte und die Tangente in O zur x-
Achse eines rechtwinkligen Koordinaten-
systems; dann hat die Gleichung der Kurve
folgende Form:
y = ax² + bx³ + cx¹ +
Zu P konstruieren wir die zugehörige Or-
dinate PQ und die Tangente PR. Der
Flächeninhalt des von dem Kurvenbogen OP,
der Ordinate PQ und der Abszisse OQ eingeschlossenen Stückes wird:
OPQ
-Jyde-
a
b
dx
+
x² +
x5
+