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Fünfter Teil. Numerische Approximationen.
Berechnet man für tx OP aus der Proportion:
OP +1: x
=
OP+cosxsin x,
so findet man:
OP 2
=
sin vers x
5
6
175
sin vers² x
daraus leitet Newton ¹) folgende Rektifikation des Bogens x her:
Man konstruiere y aus der Proportion
3
7: sin vers x =
5
2
5
sin vers : y
und nehme
OP
=
2
--
sin vers x
-
y;
5
der so bestimmte Punkt P ist der nächst beste Rektifikationspunkt.
Noch genauer, nämlich dem oben erwähnten dritten Näherungswert
entsprechend, hätte man y aus
7-0
6
3
sin vers x:
sin vers x =
sin vers x Y
5
5
5
zu konstruieren. Lambert 2) entwickelte OP nach Potenzen von x:
OP 2
=
-
1
x2
10
1
1
x² +
x6 +
•
"
42000
126000
10
ນໍາ
also ist in zweiter Annäherung
OP=2
was man zur Arkufikation einer Strecke x benutzen kann.³)
Goniometrie kleiner Winkel.
Zu den Formeln:
sin x
2
1
+
cos x (Nikolaus von Cusa);
Ꮖ
3
3
Ꮖ
1
sin Ꮖ
3
х
2
•
sin x
3
x
4
sin x
3
1
COS X
1
COS X
1
3
(Snellius),
cos x (Huygens)
kann man noch hinzufügen:
+
3
+ cos x (Huygens),
-
sin x
x
cos x +
1 1
3 cos x'
sin x
1
X
3
cos x'
1) J. B. Biot et F. Lefort, Commercium epistolicum (Paris 1856), p. 110.
2) Observationes variae in mathesin puram. Acta Helvetica III, Basileae
1758, § 10, p. 132. 3) Vgl. z. B. Fr. Strempel, Progr. Rostock 1898.