Kapitel II. Approximierung durch Mittelbildung.
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C das geometrische Mittel aus A und B ist; das findet bei Ellipsen-
sektoren, das Umgekehrte bei Hyperbelsektoren statt, so daß für
diesen Fall die Zeichen und zu vertauschen sind.
.
--
Die Herleitung dieser Formeln verheimlicht er ausdrücklich. Er
versichert, daß er solche Näherungsformeln auch bei beliebigen kon-
vergenten Reihen aufstellen könne.
Nach der obigen Bemerkung kann man in allen diesen Formeln,
statt der arithmetischen Mittel auch die harmonischen oder die geo-
metrischen nehmen.
Christian Huygens (1629-1695).¹)
Die Formeln des Nikolaus von Cusa, Snellius und Orontius
Finäus wurden erst von Huygens in seiner Schrift: ,,De circuli magni-
tudine inventa" berichtigt und streng bewiesen, auch fügt Huygens
noch einige weitere Formeln hinzu.
Zum Beweis der Snelliusschen Formel beweist Huygens zunächst
den folgenden Hilfssatz: „Beschreibt man einem Kreissegment das
gleichschenklige Dreieck ABC ein und den durch die beiden Sehnen
AB und BC abgeschnittenen Segmenten in derselben Weise zwei
gleichschenklige Dreiecke: AEB und BFC, so ist der Inhalt des
ersten Dreiecks kleiner als das Vierfache der Summe der beiden
andern Dreiecke."
Zunächst ist:
also:
EA = EB> — AB,
AB <4BE2,
oder da AB2-2BD und BE-2BG
B
G
ist:
BD<4BG.
Ferner ist:
=
EF AB
-
BC,
also:
Folglich :
oder:
2EFAB+ BC > AC.
ΔΑΒΟ < 8ΔΕΒΕ,
ΔΑΒΟ < 4(ΔΑΕΒ + ΔΒΕΟ).
D
(1)
Aus diesem Satze zieht jetzt Huygens folgenden Schluß: Denkt
1) De circuli magnitudine inventa, Lugd. Bat. 1654. S. ferner die Kor-
respondenz (spez. Nr. 181-192) von Huygens mit F. van Schooten, Grégoire de
St. Vincent u. a. Oeuvres (La Haye 1888/90) I.
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