Kapitel II. Approximierung durch Mittelbildung.
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schiedenen Zahlen sind auch das harmonische, geometrische, arith-
metische Mittel wenig verschieden, und zwar bei beliebigem Gewichts-
verhältnis.
Jakob Gregory (1638—1675).
Er fügt zu den Formeln von Nikolaus von Cusa und Snellius
neue derselben Art hinzu. Statt ein- und umgeschriebene Polygone
zu kombinieren, konnte man ja z. B. nur die eingeschriebenen be-
nutzen und aus zweien derselben in und in eine genauere Grenze ab-
leiten. Gregory gibt in dieser Hinsicht die Formel ¹):
X-
4
3
1
i z n
3 ከነ
die also eine Art Extrapolation darstellt. Und da man nunmehr
wieder zwei Grenzen hat:
ien + Jan X
3 พ
3 n
3
so fragt Gregory, wie vorher Nikolaus von Cusa, wo denn genauer
x zwischen diesen Grenzen liegt, und findet die Antwort: man schalte
zwischen diesen beiden Grenzen vier arithmetische Mittel ein, das
größte 2) ist nahezu x; ebenso nimmt Huygens³) das kleinste zwischen
(+2J,) und (4i, — in) also:
1
3
4
3 n
x =
1
5
in
3
n
n
* ÷ } ( 4 + 3 ) + ( -4),
4
2/5 ² 2
in),
oder geometrisch ausgedrückt: x ÷¨
3 sin x cos x16 sin x + 2tg x
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diese Formel hat Gregory (s. S. 194 vorletzte Formel).
Für den Fall n=1 und Anwendung
auf Segmente gibt die Formel, da
i=AB=0, J=▲ADB, „-^ACB
Auch
ΔΑΒ
ist, Segment ACB:
8
h. AB AB.
8h+HA
=
15
15
15
== H. AB +
wenn H DE, h CE ist. 4)
-
B
E
Anmerkung: Wir haben früher mit 2x den Bogen ACB oder,
1) Vera circ. et hyp. quadr., prop. XX (Huygens Opera I p. 438).
2) I. c. p. 444.
3) Huygens, der den Miterfinder des Spiegelteleskops scharf kritisiert
(Opera varia, Lugd. Bat. 1724, I, p. 474), glaubt ihm hier einen Fehler vor-
werfen zu können, da er die andere Wahl der oberen Grenze bei Gregory über-
sieht. Vgl. auch Heinrich, Bibl. math. (3) 1 (1900), p. 90.
4) Diese Formel von C. W. Baur (Schlöm. Ztschr. 12 (1867), p. 355) ist also
in der obigen enthalten; ebenso eine von Mollweide (s. S. 205).
Vahlen: Konstruktionen u. Approximationen.
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