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Fünfter Teil. Numerische Approximationen.
Π
2x
sogar die Wurzel O fünffach. Derartige Approximationen nennen wir
oskulierende. Die obige Formel (3) gibt, wenn man darin n =
einsetzt:
sin x
cos x)
cos C .
π
X
х
Diese Gleichung hat offenbar die Wurzel x = 0 nur zweifach,
und eine gute Approximation wird außerdem in der Nähe von
X = geliefert; (setzt man in ihr dagegen für den Näherungs-
wert 3 ein, so erhält man die Formel des Nikolaus von Cusa).
Approximationen dieser Art wollen wir als interpolierende bezeichnen.
6
Philipp v. Lansberg soll aus seiner Formel für n = 256 erst л
auf 6, dann auf 28 Stellen berechnet haben.¹)
Orontius Finäus (1494-1555).2)
Dieser hat zwei Sätze ausgesprochen, die in unserer jetzigen
Ausdrucksweise lauten würden:
xsin x tg x,
.
d. h. der Bogen ist nahe gleich dem geometrischen Mittel aus sin x
und tg x mit dem Gewichtsverhältnis 2:1.
Aber er sprach diesen Satz nur für den halben Zentriwinkel des
Quadrates aus und glaubte, daß er hier genau richtig ist. Das würde
für den Wert:
π
/323,17...
ergeben. Es ist dies also eine ähnliche Mittelbildung wie die oben
(S. 176) erwähnte des Baudhayana, nur daß hier das geometrische,
dort das arithmetische Mittel genommen wurde.
=
Die Formel selbst, richtig und allgemein und mit Bestimmung
des Zeichens oder wurde von Huyghens (s. u.) bewiesen.
Übrigens folgt aus jeder der drei analogen Formeln von Nicolaus,
Snellius, Orontius für kleine x:
2
3
tg x + 2 sin x
X=
tg x
X=
xtg3x sin³ x
1
+
2
3
sin x
jede der beiden andern, sofern es nur auf die Tatsache der Annähe-
rung, nicht auf das Zeichen ankommt. Denn bei zwei wenig ver-
1) v. Braunmühl 1. c. I, p. 176.
2) De rebus mathematicis hactenus desideratis, Paris 1556. Die Irrtümer
dieser Schrift wurden zuerst von Pedro Nunez gen. Nonius (1492-1577) in
seiner Schrift: De erratis Orontii Finaei widerlegt.