Kapitel II. Approximierung durch Mittelbildung.
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Übrigens ist diese Formel ziemlich genau. Sie gibt z. B.:
36°50'
22°37'
statt 36°52',
statt 22°37′11″,
16°15′36″ statt 16° 15′36″.¹)
Willebord Snellius (1580-1626).²)
Nimmt man in der Winkeldreiteilungsfigur (von S. 82) statt des
Trisektionspunktes P, für den PQ-1
ist, den approximativen Trisektions-
punkt P, für den PR-1 ist, so liefert
die Figur die Proportion:
ST: sin x 3: (2+ cos x),
-
d. h. nach der obigen Formel, es ist
P
Ꭱ
OU S
ST÷x, so daß der approximative Trisektionspunkt zugleich ein
approximativer Rektifikationspunkt ist.
Um die Formel in der Snelliusschen Form zu beweisen, wäre
also:
STX
nachzuweisen. Der Beweis, den Snellius hierfür gibt, ist, wie gesagt,
nicht einwandfrei; aber die Richtigkeit vorausgesetzt, leitet Snellius
aus derselben Figur eine zweite Näherungsgleichung her.
Zieht man nämlich die Parallele UOV zu PQT, so zerfällt ST
in zwei Teile, von denen
VT = QU÷ 2 sin,
SV = tg
x
3
ist. Folglich ergibt sich:
X
x = 2 sin+tg,
oder wenn man 3x statt x setzt ³):
T
T
P
-R
-S
2 sin x + tg x
3
(2)
1) C. H. Gietermaker (t' Vergulde Licht der Zeevart, Amsterd. 1693)
schreibt die Formel für den praktischen Gebrauch x (in Graden)
=
171%, sin x
2+ cos x
s. Kästner, Geom. Abh. I (Gött. 1790), p. 166. Albert Girard (Tables des
sinus usw., Haag 1626, 12° Bogen K, Blatt 8) soll eine ähnliche genauere Formel
haben. Über die praktische Brauchbarkeit der Formel s. Schlömilch, Schlöm.
Ztschr. 2 (1857), p. 330.
2) Cyclometricus, Lugd. Bat. 1621.
3) Über die Genauigkeit dieser Formel s. Lambert, Beiträge II, p. 311.