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Fünfter Teil. Numerische Approximationen.
(1540—1610) aus den 15.287-Ecken (1596) erst 20 (mit der Formel
-
333
1 — 9 — 1/8"), dann aus dem 26º-Eck 32, schließlich 35 Stellen.¹)
Er rechnete nach dem Verfahren des Arya Bhata. Zu den rationalen
Näherungswerten des Archimedes, des Ptolemäus und der Inder fügte
Adrian Metius 2), der Vater, (1585) den Wert und dann durch
Komposition (Mittel der Zähler durch Mittel der Nenner) dieses mit
dem Ptolemäischen den besonders glücklichen
377
120
355
113
= 3,141592 ...
106
hinzu, der kleinere Zahlen hat und doch genauer als der indische ist.³)
Das Verfahren von Arya Bhata findet sich in allgemeinerer
Weise bei J. Gregory (1668).) Er beweist, daß eine nach dem Archi-
medischen Algorithmus (s. S. 180) gebildete Reihe positiver Größen:
A, B, C, D, ...
gegen einen Grenzwert Z konvergiert und daß man sich diesem Grenz-
wert auch durch eine Reihe von Größen nähert, die durch bloße
Quadratwurzelausziehungen gewonnen werden. Definiert man nämlich.
der Reihe nach die Größen L, M, O, P, Q, R, ..., deren erste be-
liebig ist, durch die Gleichungen:
B: C 2L: M,
0² = 4L² - M²,
Q² = 4 L² — P²,
-
S² = 4 L²- R²,
usw.
*
P² = 2 L² + LM,
R² = 2 L² + LP,
1) Van den Circkel, Delf 1596; De circulo, Leyden 1619, p. 3. De Arith-
metische en Geometrische Fondamenten, Leyden 1615, p. 163; lat. von Snell,
Fundamenta Arithmetica et Geometrica, Leyden 1615. 2. Aufl., mit lat. Über-
setzung der Schrift Van den Circkel, unter dem Titel: De Circulo (1619), p. 3,
29 ff., 92.
2) A. Metius, Arithmeticae libri duo et Geometriae, Leyden 1626, p. 88 ff.
3) Hermann Benning, ein Glockengießer in Hamburg, soll auf 45 Stellen
mit bloß einer Wurzelziehung berechnet und darüber anonym (1678) eine Ab-
handlung von 2 Bogen verfaßt haben (s. Paul Halcke, Mathematisches
Sinnenkonfekt, Hamburg 1719, p. 340).
4) Exercitationes geometricae, London 1668. Wir haben uns später mit
anderen Quadraturformeln Gregorys zu befassen, über die er mit Huygens in
Streit geriet. Vgl. Journal des Sçavans 1668 und Philosoph. Transactions III.
Die hierauf bezüglichen Schriften auch die Vera circuli et hyperbolae qua-
dratura, aber auffallenderweise nicht die in den Exercitationes geometricae
enthaltenen Appendicula ad veram circuli et hyperbolae quadratura findet man
abgedruckt in Hugenii Opera Varia. Lugd. Bat. 1724. So sind die Appendicula
und überhaupt die Exercitationes fast unbekannt geblieben. Wir kommen weiter
unten auf andere Resultate dieser Schrift zurück.