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Fünfter Teil. Numerische Approximationen.
Satzes sin
10
2
-
150
sin in die nach der Archimedischen Methode zu
32
berechnenden Grenzen ein ¹):
18°
150
1
3
(sin
---
32
sin 15
1
32
32
(sin
<(sin sin 129)
32
deren Mittel ihm auf zwölf Stellen richtig
1º
sin 0,008 726 535 498
2
ergibt. Das ergibt л= 3,14155..
3,14155... Allgemeiner interpoliert Leonardo
von Pisa (um 1200) u. a. nach „Proportionalteilen", d. h. indem er die
Differenzen der Winkel in einer Tafel denen der Sinus proportional setzt.
Ähnlich wie Abul Wafa geht Levi ben Gerson Israelita († 1344)
vor.) Er berechnet durch Archimedische Halbierungen und das Ptole-
mäische Additionstheorem die Sehnen der einander sehr nahen Winkel
33° 1°
128 4
-
+
1º
128
und
15° 1º
64
1º
=
4
64
diese sind den Bögen so nahe proportional, daß er
1º
2
crd
4
3
crd 1 (12 +128) + 1/1/1 erd
crd 1 (12 - 1474)
setzen kann. Er findet daraus
3
64/
42
28
12
27
+ + + +
602 603 60+ 605 606
15
crd 15':
=
л =
Das gäbe 3,14157...
Johannes Müller Regiomontanus (1436—1476)³) berechnet sin 1º
aus der Begrenzung:
3º
4
sin
3
3º
2
3º 1
>sin 10> sin
+
4
3
4
3
sin ³/2,
2'
in der die obere Grenze die obere Ptolemäische, die untere das Mittel
der beiden Ptolemäischen ist; daß das eine untere Grenze ist, folgt
aus dem Satze des Theon. Durch Interpolation nach Proportional-
teilen verkleinert er das Intervall bis auf 1'.
Dagegen hatte der Tartar Ulug Beg (1393-1449) einen neuen
Weg eingeschlagen ¹), um von sin 3º zu sin 1º zu kommen, den Ptole-
1) Ähnlich sein Zeitgenosse Ibn Jûnus:
15
sin 1°
=
•
1 8
3 9
sin
8
+
90 2 16
3 15
sin
16'
der also zwischen den nach dem Aristarchschen Satze gebildeten Grenzen nach
Proportionalteilen interpoliert.
2) Leo de Balneolis Israhelita de sinibus, chordis et arcubus etc.
Cod. Vindob. Pal. 5277 (Philos. 68). Kommentiert von M. Curtze.
3) Seine Sinustafeln von Minute zu Minute sind angehängt dem Werke:
Quadratum geometricum praeclarissimi Mathematici Georgii Burbachii. Norim-
bergae 1516/17.
4) Überliefert von Meriem el-Tschelebî († 1412) in
seinem Kommentar zu Ulug Begs Sinustafeln.