Kapitel I. Goniometrische und zyklometrische Approximationen.
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möglichst kleinen Winkel ermitteln. Als solcher kam zunächst der
Winkel von einem Grad in Betracht, der aber nicht konstruierbar war.
In der Sexagesimalteilung des Kreises lag also die Veranlassung,
sozusagen der Zwang, über die Archimedische Methode hinauszugehen;
das wäre z. B. nicht nötig gewesen, wenn der Kreis in 320-5.26 Teile
geteilt worden wäre. Ptolemäus schließt zur Berechnung der Sehne
crd 1º = $360
diese nach dem von ihm bewiesenen Aristarchschen Satze in die
Grenzen
3º
4
crd <erd 1º < 1 crd 20
2
3
ein, die wegen
360°
15.32'
Methode zu berechnen waren.
3º
3º
nach der Archimedischen
4
2
In Sexagesimalbrüchen ausgedrückt
360°
15. 16
liefern beide Grenzen abgerundet den Wert:
60
2
50
+ +
602 603.
Daraus folgert Ptolemäus beiläufig
377
π=
180 $360
=
.
120
3,1416,
also einen sehr genauen Wert; aber es bleibt wegen der Abrundung
unentschieden, ob Annäherung von unten oder oben stattfindet und
wie stark die Annäherung ist.
Weiterhin wird der theoretische zyklometrische neben dem prak-
tischen goniometrischen Gesichtspunkt oft aus den Augen verloren.
Als Weiterbildung der Aristarch-Ptolemäischen Interpolation ist Theons
(365 n. Chr.)¹) Bemerkung anzusehen, daß die Differenzen der Sehnen-
tafel abnehmen, und die der Inder²), daß die zweiten Differenzen den
Sinus proportional sind. Damit wurde eine Sinustafel mit dem
Intervall 3°45′
also nur für konstruierbare Winkel berechnet,
während Bhaskara (1114) ") mit dem Ptolemäischen Additionstheorem
eine solche von Grad zu Grad berechnet. Wie er aber sin 1º be-
rechnet, verrät er nicht; seine merkwürdige Näherungsformel, um die
Sehne durch den Bogen auszudrücken, ist hierfür nicht genau genug.
Sie wird uns später unter anderem Gesichtspunkte beschäftigen.
360°
96
Abul Wafa (940-998)¹) schließt auf Grund des Theonschen
1) Kommentar zum Almagest ed. Halma lib. II.
2) Surya-Siddhanter (ca. 300 n. Chr.), Brahmagupta (geb. 598).
3) H. Th. Colebrooke, The algebra of Brahmagupta and Bhaskara.
London 1817.
4) Almagest, Manuskr. No. 1138 der Bibl. royale in Paris; z. T. veröffent-
licht von Carra de Vaux, Journal asiatique (8) XIX, p. 408 ff.