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Fünfter Teil. Numerische Approximationen.
u2n = √ u„ Uzn
ian = VinJn
2u, Un
Uan
un + Un'
J
2n
denen zufolge die zwei Reihen von Größen:
ひゅ
​2in Ju
in + Jn'
U un Un un V₁n un
n
In in Jan isn V₁n isn
2
4n
dasselbe Bildungsgesetz aufweisen: je drei aufeinanderfolgende Glieder
stehen abwechselnd in geometrischer und in harmonischer Proportion.
Durch diesen Archimedischen Algorithmus wurden also die Sehnen
und Tangenten (bzw. sin und tg) der Zentriwinkel konstruierbarer
Polygone berechenbar. Diese Beschränkung auf konstruierbare Winkel
war für die Zyklometrie unwesentlich, wo es nur darauf ankam, sin a
und tg x für möglichst kleine, sonst beliebige Winkel x zu ermitteln.
Aber neben diesem zyklometrischen Ziele macht sich weiterhin, nament-
lich aus praktischen, nämlich geodätischen und astronomischen Be-
dürfnissen heraus, das goniometrische Ziel geltend: zu jedem in Grad-
maß gegebenen Bogen die Sehne und die Tangente zu finden. Das
erste in dieser Beziehung über Archimedes hinausgehende Resultat
hat Aristarch (250 v. Chr.) ¹), der für sin 1º die Grenzen und
findet. Er bedient sich dabei des der Anschauung entnommenen
Satzes, daß der Sinus langsamer wächst als der Bogen, woraus in
der Tat sin 1º>
also > folgt. Seine obere Grenze hätte
er ebenso daraus entnehmen können, daß der Tangens schneller
sin 30°
30
1
60
tg 450
1
45
1
60
1
also auch sin 1º<
45 "
45
wächst als der Bogen; woraus tg 1°<
folgt. Seine Herleitungen sind minder einfach.
Die Formeln des Heron (zwischen 100 vor und 100 n. Chr.)2), die ja
auch die Sehnen zu einigen nicht konstruierbaren Winkeln, wenn
auch bloß roh, approximieren, mögen hier nur kurz erwähnt werden.
Sie dienten anderen Zwecken und beschäftigen uns weiter unten.
Schärfere Resultate verlangte die Astronomie. Ptolemäus ) (125 bis
151 n. Chr.) hatte das Additionstheorem der goniometrischen Funk-
tionen gefunden. Um damit eine Sehnentafel mit möglichst kleinem
Intervall zu berechnen, mußte man vor allem die Sehne zu einem
1) Пɛgì μɛzedāv usw., lat. von Commandinus 1572, deutsch von Nizze 1856.
2) 1. c. I, Prop. XVII bis XXV; ferner Geometria. Mensurae. Liber Geepo-
nicus ed. Hultsch (Berlin 1864), p. 134, 206, 218, 229. Über die zweifelhafte
Echtheit dieser drei Schriften s. J. L. Heiberg, Arch. f. d. Gesch. d. Naturwiss.
u. d. Techn. 1 (Leipzig 1909), p. 118.
3) Μαθηματική (μεγάλη) σύνταξις (der später sog. Almagest VI, c. 7, ed.
Halma I, 421, ed. Heiberg 513.