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Fünfter Teil. Numerische Approximationen.
Diese Archimedischen Grenzen 3,1428... und 3,1408... kommen.
3,1427... und Uy63,1410... bis auf 1
den Werten U96
U96 = 3,1427..
2
bzw. 2 Tausendstel nahe.¹)
Später 2) findet er für noch die engeren Grenzen:
211 875
67 441
197 888
62 351
Er hatte auch den Zusammenhang zwischen Kreisumfang und -inhalt
gefunden; zur Berechnung von benutzt er die Umfänge der Poly-
gone, nicht die Inhalte. Er wußte wohl, daß die halben Umfänge
eine bessere Annäherung an 7 ergeben als die Inhalte i, denn
2
Un
es ist:
1
=
2
en un<
u
n
da o, der Radius des einbeschriebenen Kreises, kleiner als Eins ist.
Von den erforderlichen Ungleichungen
folgen die auf die Inhalte bezüglichen
OAB Sektor OACB < OADB
ohne weiteres aus den allerersten Kreiseigen-
schaften, daß eine Sehne ganz innerhalb, eine
Tangente ganz außerhalb liegt. Von den auf
die Umfänge bezüglichen
AB Bogen AB < AD + DB
kann man zwar die erste aus dem Archi-
medischen Satze von der Geraden als kürzesten herleiten"); dem ent-
spräche eine Herleitung der zweiten aus dem erst von Legendre
1) Leonardo von Pisa hat aus den 96-Ecken die etwas genaueren Grenzen
hergeleitet:
1440
4581
3,1427... und
1440
4584
3,1410...
2) In einer verlorenen Schrift περὶ πλινθίδων καὶ κυλίνδρων, die Heron
(Metrica I 26 ed. H. Schöne, Leipzig 1903), p. 66/67 erwähnt; die Zahlen sind
leider verschrieben, sie heißen vermutlich:
211882
67441
(= 3,1415904 ...) und
195882
62351
= 3,1416016...)
s. P. Tannery, Journ. d. sav. (nouv. sér.) 1 (Paris 1903), p. 205; Apollonius
aus Perge und Philon von Gadara gingen in der Annäherung noch etwas
weiter (s. Eutokios Komment. zu Arch. ed. Heiberg, Leipzig 1880/81, p. 300).
3) Archimedes, nɛgi oqaigas nal nvhívdgov (Opera ed. Heiberg, Leipzig
1880/81), erstes Postulat.