Kapitel I. Goniometrische und zyklometrische Approximationen.
177
und ging aus 18 (3-2√2) durch Einsetzen des Näherungswertes
24
V/2
=
(
17
12
+ 17)
13
hervor (s. Teil VII, Kap. 1).¹) (Aber auch der schlechtere Wert statt
9785 kommt vor; er entspräche
11136
ersten Regel
π
10
=
15
3,004.) Nimmt man in der
für 1/2 den Näherungswert so erhält man zur Quadratur des
79
Kreises des Durchmessers als Seite; und zur Zirkulatur des Qua-
8
8
drates der Diagonale als Durchmesser.2)
10
Euklid hat vermutlich die Grenzen 3<<4 gekannt³), die
das einbeschriebene Sechseck und das umbeschriebene Viereck liefern.
Der erste Ansatz zu einer methodischen Berechnung der Zahl stammt
von Antiphon¹), der den Kreisumfang durch eingeschriebene Polygon-
umfänge von unten approximieren wollte, während Bryson") außer-
dem die umgeschriebenen zur Approximation von oben und überdies
Mittelbildung, wenn auch nur aus den Vierecken i, und J (und durch
sophistische Fehlschlüsse entstellt) vorschlug (um 450 v. Chr.).)
4
Archimedes (287-212 v. Chr.) hat das systematisch ausgeführt.7)
Er zeigt, wie man aus den Umfängen u, U des ein- bzw. umbeschrie-
benen regulären n-Ecks die Umfänge un, Un findet, und leitet aus
n
2
1
2
Uy6 < x < — U96
durch Abrundung der unteren Grenze
6336
2017,25
nach unten, der oberen.
14688
4673,5
nach oben die Begrenzung her:
10
311 <x<3/1/
71
1) M. Simon 1. c., p. 160.
2) Cantor I, p. 547.
3) Aus Euclidis Elementa IV 15, IV 8, XII 16 konnten diese Grenzen ab-
geleitet werden.
4) Simplicius' Kommentar zu Aristoteles Physik (hrsg. von H. Diels,
Berlin 1882, p. 53). F. Rudio, Der Bericht des Simplicius über die Quadra-
turen des Antiphou und des Hippokrates, Leipzig 1907; Bibl. math. 3 (3) (1902),
p. 7. P. Tannery, ib. p. 342.
5) Aristoteles περὶ σοφιστικῶν ἐλέγχων.
6) Vgl. auch K. A. Bretschneider, Die Geometrie und die Geometer vor
Euklides (Leipzig 1870), p. 101, 125; und namentlich J. L. Heiberg in Einleitung
in die Altertumswissenschaft (hrsg. v. A. Gercke u. E. Noorden, Leipzig u. Berlin)
II (1910), p. 424.
7) Kúzlov uέronois, prop. III (Opera ed. Heiberg, Leipzig 1880) I, p. 263 ff.
Vahlen: Konstruktionen u. Approximationen.
12