Kapitel VI. Konstruktionen im Raume.
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aus der sich wegen 22-22p+1= r² für 2 die Gleichung vierten
Grades:
2622+ Spλ-3=0
-
ergibt. Die kubische Resolvente 4u³ — g₂u + 9 = 0 dieser Gleichung
wird wegen 90, 93 = 4 - 4p²:
9
u³ = p² - 1.
Daraus folgt, daß die exzentrische Dreiteilung als kubische Kon-
struktion stets, als quadratische nur dann ausführbar ist, wenn p²-1
oder also die von (x = p, y = 0) an den Kreis gelegte Tangente
t=Vp²-1 der Kubus einer konstruierbaren Größe ist; z. B. wird
im lemniskatischen Fall:
==
k2
-
-
Р
=
k2
1
=
3,
=
u
29
d. h. die Dreiteilung der Lemniskate ist mit Zirkel und Lineal mög-
lich, wie wir schon oben fanden.
Für den allgemeinen Fall bemerken wir nur noch, daß genau
wie bei der gewöhnlichen Kreisteilung, die dem Fall
P ∞
-
oder k 0
entspricht, aus der n-Teilung die 2n-Teilung folgt und aus der m-
und n-Teilung, wenn m und n teilerfremd sind, die mn-Teilung.
Diese Tatsachen entsprechen bestimmten algebraischen Eigenschaften
der Teilungsgleichungen, deren Richtigkeit aber hier auf elementar-
geometrischem Wege zu erkennen ist.¹)
Kapitel VI.
Konstruktionen im Raume.
Man muß unterscheiden zwischen Konstruktionen, die wirklich
im Raume ausgeführt, d. h. ausgeführt gedacht werden, und solchen,
die durch irgendeine darstellend geometrische Methode auf Konstruk-
circumscriptum alteri. Diss. Berlin 1867. Halphen, Bull. de la soc. philo-
matique de Paris (7) III (Paris 1880), p. 17. Cayley, Quarterly Journal XI
(1871), p. 83, Philos. Mag Nov. (1853) VII (1854), p. 339.
=
1) Den oben elementar hergeleiteten Zusammenhang zwischen dem Pon-
celetschen Schließungssatz und der Multiplikation der elliptischen Funktionen
erkannte zuerst C. G. J Jacobi (Crelles J. 3 (1828), p. 376 Werke I (1881),
p. 277). Später wurde die Schließungsbedingung abhängig gemacht von der
Kettenbruchentwicklung des Radikals des elliptischen Integrals. Über die Lite-
ratur s. Gino Loria, I poligoni di Poncelet, Turin 1889 und Bibl. math. (2) 3
(1889), p. 67.