168 Vierter Teil. Höhere algebraische und transzendente Konstruktionen.
und allgemein ist sin am na eine rationale Funktion von sin am a
und cos am a dn a. Bezeichnet man den ganzen Umfang exzentrisch
gemessen mit 2, so wird:
•
sin am 2
-
2. sin am ☎ cos am ☎.
.
1- k2 sin am* ☎
dn
;
aber es ist:
folglich:
sin am
=
sin
π
=
1,
Cos am
☎ = 0,
-
sin am 2
=
= 0.
Für die exzentrische Teilung des ganzen Umfangs 2 in n gleiche
Teile erhält man also eine gleich 0 gesetzte rationale Funktion von
sin am
26
n
und cos am
Setzt man in dieser Gleichung;
26
n
·
dn
26
n
2☎
sin am
V 21 (p+1)
n
2+1
2☎
go
cos am
n
2+1'
dn
2☎
n
1 2
1+2'
so erhält man eine Gleichung zwischen 2, r und p, aus der noch
z. B. p vermittels der Gleichung:
r² = 2º 2λp + 1
—
eliminiert werden kann. Damit bekommt man also die Gleichung
zwischen den Radien 1 und und dem Zentralabstand zweier
Kreise, deren einem sich ein n-Eck einbeschreiben läßt, das dem
anderen umbeschrieben ist. Umgekehrt kann man von dieser Be-
ziehung ausgehend, Teilungsgleichungen ableiten.
Für den Fall n = 3 besteht bekanntlich die Eulersche Relation¹):
22-1-2r,
1) Siehe hierüber E. Kötter 1. c., p. 151. Analoge Formeln für symmetrische
4-, 5-, 6-, 7-, 8-Ecke, die also auch allgemein gelten, hat Fuß (Nova acta Petrop.
1792, Bd. 10 (1797), p. 103, Bd. 13 (1827), p. 166) gegeben. L'Huilier (Gerg.
Ann. 1 (1810, 1811), p. 149) zog den Schluß, daß zwei Kreise unendlich viele ein-
bzw. umbeschriebene Dreiecke zulassen, wenn zwischen ihren Radien und ihrem
Zentralabstand die Eulersche Relation besteht. Steiner (Crelles J. 2 (1827),
p. 96
Werke I, p. 127) stellte die Aufgabe, die der Eulerschen analoge Formel
für n-Ecke aufzustellen; und gab (Crelles J. 2 (1827), p. 287 Werke I, p. 159)
die Lösungen für n = 4, 5, 6, 8. Vgl. ferner: M. Simon, De relationibus inter
constantes duarum linearum secundi ordinis, ut sit polygonum alteri inscriptum,
=
=