Kapitel V. Teilung des Kreises, der Lemniskate usw.
167.
sein Modul, so ist bekanntlich:
WO
cos y = cos a cos ẞ + sin a sin ẞ cos c,
cos c=V1 sin c=V1-k sin y
gesetzt werden kann.
C
Der Vollständigkeit halber leiten wir auch die transzendente Be-
deutung der Funktion arc exc her, obwohl die Theorie der exzen-
trischen Kreisteilung ganz unabhängig davon ist.
Sind AA'= ds₁ und BB'=ds, zwei exzentrisch gleiche Bogen-
elemente, also AB und A'B' zwei unendlich benachbarte Tangenten
desselben Büschelkreises mit dem Parameter & und dem Berührungs-
punkte R, so ist wie oben:
ds, ds, AR: BR
=
und die Quadrate von AR und BR sind die Potenzen der Punkte
A(x, y) und B(x, y) in bezug auf den Büschelkreis:
folglich :
x²+ y² 12λ(x − p),
-
X₁+1
AR: BR=√2¿(p—x,): √2 λ (p − x ) = √1 − 2 + 1 Vi
also
-
-
P+1
x2+1
p+1'
--
ds₁
V1-k" sins,
=
ds
V1 — k² sin² s,'
wenn Si arc exc (SA) und s = arc exc (SB) gesetzt wird. Sind also
AA" und BB" zwei endliche exzentrischgleiche Bogen, so ist:
A"
B"
ds,
V1 — k² sins,
dsa
-
V1 — k² sin² s
B
Der Wert dieses Integrals ist also für alle exzentrisch gleichen Bogen
derselbe. Ordnet man dem Bogen AB den Wert dieses Integrals als
Bogenmaß a zu, so ist s als Funktion von a die in der Theorie der
elliptischen Funktionen mit am a bezeichnete Funktion. Aber es ist
bemerkenswert, daß die obige Herleitung des Additionstheorems von
diesem transzendenten Maß des Bogens unabhängig ist.
Wir bezeichnen noch die Funktion:
2
V1-2 sin
α
als „Differente" dn von a; dann lautet z. B. die Formel für die ex-
zentrische Verdoppelung eines Bogens:
sin am 2 a
=
2 sin am a cos am a. dn a
1-k sin am¹ a
"