166 Vierter Teil. Höhere algebraische und transzendente Konstruktionen.
Also:
Vλ
k sin (a+ẞ)
V1 - k² sin a +V1 — k² sin²ß
sin (a+B){√1 k sin a
-
· √ 1 — /² sin³ ẞ }
;
k(sina + sin² ß)
daraus ergibt sich noch:
k sin (ẞ-a)
=
Vi
2
=
V1-k sina-V1-ksin B
sin (ẞ-α) { V1 — k² sin² a + √ 1 — k² sin p}
Nunmehr ergibt sich:
-
k(sin² a sin² ß)
- -
1
2 sin ẞ cos α V1
-k² sin² α
—
2 sin a cos BV 1 — k² sin ẞ
Vλ
k (— sin² a + sin³ß)
folglich:
2+1
V21 (p+1)
sin a R(B)
sin² a
-
sin ẞ R(a)
sin ẞ
wenn zur Abkürzung:
gesetzt wird; folglich:
sin 7
1
R(a)=√1-k sin a
sin a - sin² ß
sin a R(B) sin ẞ R(c)
-
--
2
(sina sin ẞ) (sin a R (B) + sin ẞ R(c))
-
2
sin
α (1— sin² ẞ) (1
-
(sin² α
2
k2 sin ẞ)
2
- sin ẞ (1 — sin² α) (1 — k² sin² α)
(sin asin') (sin & R(B) + sin ẞ R(a))
sin² ẞ) (1 — k² sin² a sin² ß)
sin a RP) + sin ẞ R(c)
1- k2 sin a sin² ẞ
--
Dies ist eine Form des gesuchten Additionstheorems.
Von der Relation:
cos (ẞ− a) + λ cos (a +ẞ)
=r
ausgehend findet man
λ
"
cos a cos ẞ+
sin a sin ẞ
=
1+2
1+ 2
also:
=
cos y,
cos a cos ẞ+V1 — k² sin² y sin a sin ẞ-
das ist diejenige Form des Additionstheorems, auf die Lagrange die
Verbindung zwischen der sphärischen Trigonometrie und der Theorie
der elliptischen Funktionen gegründet hat. Sind nämlich α, ß, y die
Seiten, a, b, c die Winkel eines sphärischen Dreiecks und
sin a
sin a
sin b sin c
sin ß
sin y
=
k