158 Vierter Teil. Höhere algebraische und transzendente Konstruktionen.
Für die Dreiteilung eines Bogens hat man die Gleichung neunten
Grades:
sl 39
=r
3 674 1.8
1 + 6r¹ — 3r8,
die sich aber für die Teilung einer ganzen Lemniskatenschleife wegen
39 = @ und sl
=
0
auf die Gleichung:
reduziert, die durch:
gelöst wird.
3648 = 0
pt = − 3 +√12
Ebenso wie die Dreiteilung ist die Fünfteilung, Siebenzehnteilung
usw. der Lemniskate mit Lineal und Zirkel ausführbar.
Aus dem Additionstheorem und der aus der Definitionsgleichung
folgenden
erhält man nämlich
sl ip
=
i sl
1
2ir — p
sl ((2+i))
=
ir.
1
(1-2) p**
@
die Gleichung:
2+ i
Setzt man (2+ i) = ☎, so erhält man für r= sl
W
woraus r sl
=
2 + i
-
2ir² 10,
quadratisch irrational zu berechnen ist. Aus sl
க
und dem konjugierten sl liefert das Additionstheorem:
2
sl
81 (244 +224),
+ i
d. h.
und
d. h.
4 @
sl
sl
--
V
-
√5 √ √5 - 1
2
+ √5
26
81 (220;+20;),
sl
+
i
W
2 + i
86
3☎
sl
sl
5
5
sl
20
=
5 1 + √5
5 + V
2
Ebenso erhält man für die Siebenzehnteilung:
sl ((4 + i) ❤)
-
12
ri ((1 — 4 i) — (20 — 12 i) r¹ — (10+28 i) r² + (12+20 i) r¹² + r16)
12
1 + (12 + 20 i) r¹ — (10+ 28 i) rº — (20 — 12 i)r¹² + (1 — 4 i) r16 ›
und für (4+i) ¢ eine Gleichung vierten Grades für
die aber in die zwei quadratischen zerfällt:
= sl¹
4 + i