152 Vierter Teil. Höhere algebraische und transzendente Konstruktionen.
Nun ist:
=
Y2X6X3
-
-
-
X5 X7 <0,
da ja bereits x3>x ist; folglich muß:
-
Y₁ = Xq + X₁+XqX₁ > 0
sein, da ja y₁y2-4 ist; also ist:
=
2
+ /1/ √17,
Y1
=
-
1
Y2
=
-
2
√17,
Ferner folgt, da
ist, daß
ist; und da
Y1 — Y₂ = +√17.¹)
21 > 0, ≈½ < 0, ≈₁ + z 2 = Y₁ >0
21 22
23' <0, 21'>0, 21′ + 22′ = Y2 < 0
ist, daß > z₁' ist.
Durch diese elementare Analysis haben wir die Kette von qua-
dratischen Gleichungen gewonnen, durch deren sukzessive Auflösung
man die Größen x erhält. Alle bekannten Konstruktionen knüpfen
hieran an. Die ältesten sind wohl die von Gauß erwähnte Paukersche
und die von Gauß besprochene Erchingersche 2):
Es sei AB:
=
[AB] so, daß:
1; dann konstruiere man die Punkte C und D auf
AC BC AD BD 4AB 4 und BC>AC
=
=
wird; das geschieht z. B. mit Hilfe des Sekanten-Tangentensatzes.
Dann ist:
AC
=
BD
=
denn es ist:
Y1 und AD
BC AC
-
BC AC
•
=
BC > AC.
=
Konstruiert man dann weiter den
4
1
=
BC:
=
Y21
Punkt E auf [AB], so daß:
AE CEAB=1, AE > CE
·
1) Bekanntlich hat die Vorzeichenbestimmung in der entsprechenden all-
gemeineren Gleichung besondere Schwierigkeiten gemacht; s. Gauß, Summatio
quarundam serierum singularium (Werke II, p. 9); in dem vorliegenden spezi-
ellen Fall ergibt sie sich, wie man sieht, ohne weiteres.
=
2) Gött. gelehrte Anz. 19. Dezember 1825 - Werke II, p. 186. Erchinger,
Geometrische Konstruktion des regelmäßigen Siebenzehnecks. Pauker, Elementar-
geometrie, Mitau.