148 Vierter Teil. Höhere algebraische und transzendente Konstruktionen.
Daß zu jeder Primzahl p primitive Wurzeln existieren, hat zuerst
Euler nachgewiesen.
Dies vorausgeschickt, betrachten wir die Kreisteilungsgleichung:
x"-1
f(x)=
=
x 1
---
=
0,
wo p2+1 eine Primzahl ist; x sei eine Wurzel dieser Gleichung
und g eine primitive Wurzel für p, also x, xº¹, x², x-2 sämt-
liche Wurzeln.
Stellt man nun den Exponenten von g im dyadischen Zahlsystem
dar und setzt
XI(i
+ 2 ¿, + 2² ¿½ + +2 −1 ix −1).
Xqα-1
= Xu-116+2a-26₂++ (10), "a-10, 1)
so sind o, x1,..., 1 sämtliche Wurzeln von f(x) = 0. Jetzt sei
(xx) eine rationale symmetrische Funktion von x。 und x₁, (XX)
dieselbe Funktion von x, und ; (XoX1X X3) eine rationale symmetri-
sche Funktion von (xx) und (X2 X3), (X4XzXqX7) dieselbe Funktion
von X4, X5, X6, X usw., so ist:
(Xo X1 X3 Xg... Xqa_1)
eine rationale Funktion, welche offenbar bei jeder Substitution:
x || x27,
(B=0,1,..., α-1)
−1)
also auch bei jeder aus diesen komponierten Substitution:
x | xgi
(i=0,1,..., 2α- 1)
unverändert bleibt, also rational ist. Nun erhält man x。 durch eine
Quadratwurzelziehung aus solchen Funktionen (1), ferner diese
(xx) durch eine Quadratwurzelziehung aus solchen Funktionen
(XoXXX), usw., also ist schließlich x durch einen Quadratwurzel-
ausdruck darstellbar.¹)
Für das reguläre Siebzehneck geben wir außerdem eine ganz ele-
mentare Analyse und Konstruktion, welche auf der schon früher (S. 82)
für die Drei- und Vielteilung des Winkels und für das 5-, 7-, 9-Eck
benutzten Figur zur Vervielfachung des Winkels beruht. Dabei wird
auch von dem Gebrauch der trigonometrischen Funktionen abgesehen,
so daß diese Herleitung in jedem Lehrbuch der Planimetrie Platz
finden könnte.")
1) Vahlen, Acta math. 21 (1897), p. 293 ff.
2) Eine rein geometrische Analyse hat auch A. Padoa (Bull. di Mat. 1903),
aber er kommt erst durch Zerlegen einer biquadratischen Gleichung zu Glei-
chungen zweiten Grades. Eine sehr schöne Analyse muß Erchinger gehabt
haben, von dem Gauß (Gött. gel. Anz. 19. Dezember 1825 Werke II, p. 187)
berichtet:,,Das eigentlich Verdienstliche der Abhandlung des Hrn. Erchinger
besteht in der rein geometrischen Begründung . . . und diese ist mit so
=