Kapitel V. Teilung des Kreises, der Lemniskate usw.
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durch eine Primzahl p teilbar, dagegen c₂ nicht durch p², so ist die
Funktion irreduktibel."
Beweis: Angenommen, es bestände folgende Zerlegung:
-1
- 1
f(z) = (z¹+ a₁z¹¹+ ··· + a₁) (zm + b₁₂ 2m - ¹ + ··· + b m),
...
dann müssen nach dem Gaußschen Satz die Koeffizienten a und b
ganze Zahlen sein. Dann ist:
cn=arbm
durch p, nicht durch p² teilbar, also eine und nur eine der Zahlen
a, b durch p teilbar; das sei etwa a,, also b nicht durch p teilbar.
Ferner folgt:
m
abm-1+α-1bm
=
C₂-19
also a durch p teilbar; ebenso:
ar-1
m
abm2+ a₁_1bm-1a-2bm=cn_27
also a durch p teilbar, usw. bis
abm + a₁bm-1 +
a= m
... -=
Cm
unteilbar durch p, unmög-
durch p teilbar, was wegen a 1, b
lich ist.
Mit Hilfe dieses Eisensteinschen Satzes läßt sich nunmehr leicht
die Irreduktibilität der Kreisteilungsgleichung:
хис
хра
-
1
1
-
Xpα- 1(p − 1)
-
+
Xpα −1(p −2) +
·
..
+xpα-
1
+ 1 = 0,
wo p eine Primzahl ist, nachweisen.¹) Durch die Substitution: x=z+1
geht sie über in:
` −
-1
(z+1)µ¤ −¹ (p− 1) + (z+1)p¤ −1(p − 2) + · · · + (≈ + 1)µ¤ − ¹ + 1 = 0.
Daraus ergibt sich für a = 1:
(1)-1
(+1)-1
oder:
= (≈ +1)p−¹ + (≈ +1)p−² + · · · + (≈ + 1) + 1 = 0,
2P-1 + (1) 2P-² + (12) 21 −3+
-3
•
+(2) z + p = 0.
Hier sind alle Koeffizienten durch die Primzahl p teilbar, dagegen
der letzte nicht durch p²; also ist nach dem Eisensteinschen Satze
diese Gleichung und damit auch die Kreisteilungsgleichung:
irreduktibel.
XP-1
-
+
...
+x+1=0
=
=
- Werke I,
Werke I, p. 1,
1) Für α = 1 zuerst bewiesen von Gauß, Disqu. arith., art. 341
p. 417; dann von Kronecker, Crelles J. 29 (1845), p. 280
Liouv. J. (2) 1 (1856), p. 399 — Werke I, p. 99, der allgemeinere Fall Liouv. J.
-
=
(1) 19 (1854), p. 177 — Werke I, p. 75.
Vahlen: Konstruktionen u. Approximationen.
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