Kapitel V. Teilung des Kreises, der Lemniskate usw.
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gezeichnet annimmt, mit dem Lineal allein.¹) Im Altertum war nur
die Teilung des Kreises in 3, 5, 15 gleiche Teile und in die durch
fortgesetztes Bogenhalbieren erhaltenen Anzahlen: 3.2, 5.2α, 15.2α
gelungen. Von Potenzen von 2 kann man natürlich absehen; außerdem
kann man die Teilung in nm Teile, wenn m und n teilerfremd sind,
zurückführen auf die Teilung in m und die Teilung in n Teile. Denn
bestimmt man, was stets möglich, die ganzen Zahlen u und v aus
der Diophantischen Gleichung:
m v
nu =
1,
so ist der mnte Teil des Kreisumfanges gleich:
v
น
n
m
1
m
n
desselben, also konstruierbar, wenn und des Kreisumfanges kon-
struiert werden können.
Umgekehrt ist mit der mn-Teilung durch Zusammenfassung
von n bzw. m Teilen zugleich die m- und die n-Teilung gegeben.
Demnach ist nur noch die Frage, für welche Primzahlpotenzen p
die Teilung ausführbar ist, d. h. für welche Primzahlpotenzen pa die
Größen cos
2hx
pu
2hя
sin
also auch
p"
х = COS
2hx
p"
+ i sin
2hл
p"
quadratisch irrational sind; oder, da nach dem Moivreschen Satze 2)
x= 1 ist, für welche p" dieser Gleichung durch einen Quadrat-
wurzelausdruck genügt werden kann.
Unter den p Wurzeln dieser Gleichung sind die sämtlichen
Wurzeln der Gleichung:
-1
Xpa-
-
1
=
0
enthalten; wir können demnach durch zp¤-1.
kommen:
apa
-
1
-
-
1 dividieren und be-
=
Xp¤−1(p-1) + Xp¤ −1(p−2) +
...
+xpα.
- 1
+1 = 0.
Es fragt sich zunächst, ob diese Gleichung weiter reduktibel ist.
Um das entscheiden zu können, müssen wir zwei Sätze von Gauß
und Eisenstein vorausschicken:
1) Das projektive Analogon dieser Aufgabe (vgl. S. 49, 73 u. 104) lautet:
In einen gegebenen Kegelschnitt ein n-Eck (123... n) so einzubeschreiben, daß
die Punkte ([h, i + k] [h + i, k]) auf einer gegebenen Geraden liegen. Die S. 95
ausgeführten Ellipsenteilungen sind von dieser Art, die gegebene Gerade un-
endlich fern.
2) S. Kap. III des sechsten Teiles.