Kapitel V. Konstruktionen unter besonderen Bedingungen.
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konstruiere den Schnitt O von [SS'] mit einer zugänglichen Ge-
raden [RR'] wie in II. und verbinde O mit S wie in I.
Damit sind die projektiven linearen Aufgaben in begrenzter Ebene
als ausführbar erwiesen. Die affinen und metrischen kann man, wie
S. 21 u. 30 gezeigt, durch Annahme von bestimmten Grundfiguren auf
die projektiven zurückführen. Man kann diese Konstruktionen: Par-
alleleziehen, Lot errichten, Lot fällen, Strecke halbieren aber auch in
der üblichen Weise ausführen und durch Hilfskonstruktionen auf die
begrenzte Ebene beschränken (s. Witting, Zühlke a. a. O.). Dasselbe
gilt für die Hilbertschen Konstruktionen mit Strecken übertrager. Ins-
besondere halbiere man einen unzugänglichen Winkel, eine unzugäng-
liche Strecke, trage Strecken von unzugänglichen Punkten aus oder
nach unzugänglichen Punkten hin, oder auf unzugänglichen Geraden
ab, usw.¹) Ebenso sind die quadratischen Konstruktionen auf die be-
grenzte Ebene zurückzuführen. Dabei kommt es offenbar nur auf
die Lösung der folgenden beiden Aufgaben an:
1. Nach den Schnittpunkten des Kreises A(AB) mit der Ge-
raden [CD],
2. nach den Schnittpunkten des Kreises A(AB) mit dem Kreise
C(CD)
Gerade zu ziehen, wenn unter den Punkten A, B, C, D un-
zugängliche sind.
Oft anwendbare Hilfsmittel sind Ähnlichkeiten, Affinitäten und
Inversionen.)
Da alle projektiv linearen Aufgaben in begrenzter Ebene aus-
führbar sind, sind sie es auch mit begrenztem Lineal. Denn be-
schränkt man das Zeichenfeld auf ein Stück, das in keiner Richtung
die Lineallänge überschreitet, so sind in diesem die Aufgaben mit
dem gegebenen Lineal lösbar. Liegen aber bereits Daten vor, die für
die gegebene Lineallänge unzugänglich sind, z. B. zwei zu weit von-
einander entfernte Punkte, die durch eine Gerade zu verbinden sind,
so muß man durch einen derselben oder beide je zwei gerade Linien
bis in das vorher abgegrenzte Zeichenfeld ziehen, usw.
Die den affinen und metrischen Konstruktionen zugrunde liegen-
den Daten können natürlich auch außerhalb des Zeichenfeldes liegen;
man kann dann zunächst mit ihrer Hilfe entsprechende Daten im
Zeichenfelde konstruieren. Dagegen muß für die quadratischen Kon-
struktionen von dem Kegelschnitt bzw. Kreis mindestens ein Stück
1) Vgl. z. B. Francisci a Schooten exercitationum mathematicarum libri V
(Leyden 1657) lib. II.
2) Über diese und ähnliche Methoden vgl. J. Petersen, Methoden und
Theorien zur Auflösung geometr. Konstruktionsaufgaben, Kopenhagen. Deutsch
von Fischer-Benzon, Kopenhagen 1879.