Kapitel V. Konstruktionen unter besonderen Bedingungen.
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Q = ([AA₁][BB₁])
einen beliebigen Strahl: QCC₁; der Schnittpunkt S von [BC₁] und
[CB₁] liefert, mit P verbunden, die gesuchte Gerade (auf Grund der
harmonischen Eigenschaften des Vierecks S. 6).
Die Konstruktion versagt, wenn der Hilfspunkt Q ebenfalls außer-
halb des Konstruktionsbereiches fällt. Dann kann man die folgende
anwenden, die auf dem Desargues-
schen Satze beruht und stets an-
wendbar ist.
A B C
B
B₁
C₁
G₁
R
S
R'
C'
einen beliebigen Punkt Q, auf
einen be-
Man nehme auf
liebigen Punkt R an und ziehe die Gerade 5 so, daß sie die drei
Seiten des Dreiecks PQR in zugänglichen Punkten P,Q,R, schneidet.
Dann ziehe man durch P, eine beliebige Gerade, die & und & in
Q' und R' schneide. Dann ist [P([Q'R₁], [Q,R'])] die gesuchte Ge-
rade.¹) Die Hilfskonstruktion ist also dieselbe, wie die bei einem
spitzen Schnitt von & und Ganzuwendende; sie ist überhaupt immer
anzuwenden, wenn der Schnittpunkt (GG) aus irgendeinem Grunde
nicht benutzt werden kann oder soll.
II. Von einem beliebigen zugänglichen Punkt P nach einem
unzugänglichen Punkt zweiter Ordnung
0
=
(G, §) = ([RR'][SS'])
eine Gerade zu ziehen (Fig. S. 132).
Man kann (nach I) annehmen, daß von den beiden Punkten S,
S' der unzugänglichen Geraden H, welches beide unzugängliche Punkte
erster Ordnung sind, Gerade durch R und R' gezogen sind; dann soll
der Schnittpunkt P = ([R'S], [RS']) mit dem unzugänglichen Punkte
zweiter Ordnung 0 verbunden werden. Zu dem Zwecke konstruiere
1) Natürlich kann man ebenso den Pappusschen Satz (s. S. 16¹)) be-
nutzen, (s. z. B. M. d'Ocagne, Journ. de Math. élém. 1886, p. 59) wie über-
haupt alle Sätze, in denen drei Linien durch einen Punkt gehen. Legt man
nicht Wert darauf, diese projektive Aufgabe projektiv zu lösen, so kann man
auch Sätze, wie den Höhensatz vom Dreieck u. dgl. benutzen.
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