130 Vierter Teil. Höhere algebraische und transzendente Konstruktionen.
Bei den quadratischen Aufgaben kann es eintreten, daß eine
Gerade den gezeichnet gegebenen Kegelschnitt unter sehr spitzem
Winkel schneidet; die Schnittpunkte sollen genauer konstruiert werden.
Man nehme auf & den Punkt Q beliebig an, dann 0 auf der Polare
von und den Pol P von [OQ]. Zu [QO], [QP] und der ge-
gebenen Geraden konstruiere man die vierte harmonische; sie treffe
den Kegelschnitt in A', B'. Dann sind (G[B'P]), (G[A'P]) die
zwei gesuchten Schnittpunkte.
Man suche ferner Hilfskonstruktionen auf zum Ersatz sehr kleiner
oder sehr großer Kreise.
Ähnliche Hilfskonstruktionen sind für die kubischen Aufgaben anzu-
wenden, wenn der konstruierte Kegelschnitt (bzw. Kreis) den gezeichnet
gegebenen in zwei, drei oder vier nahe zusammenliegenden Punkten,
oder in zwei Paaren von nahe zusammenliegenden Punkten schneidet;
dabei ist auch der Fall zu berücksichtigen, daß zwei nahe zusammen-
liegende Punkte imaginär sind.
Konstruktionen im begrenzten Gebiete ¹) und mit beschränkten
Hilfsmitteln.
Bisher haben wir immer angenommen, daß die ganze unend-
lich weite Ebene für die Konstruktion benutzt werden kann, daß
das Lineal beliebig lang, der Zirkel beliebig groß ist usw. Prak-
tisch ist dies nun nicht der Fall. Man muß vielmehr auf die Be-
grenztheit der Konstruktionsebene Rücksicht nehmen, darf aber eine
Konstruktion nicht deshalb als unausführbar ansehen, weil im Laufe
derselben Punkte auftreten, welche außerhalb der Zeichenebene zu
liegen kommen. Wir nennen solche Punkte unzugängliche Punkte.
Unzugängliche Gerade sind solche, die keinen zugänglichen Punkt
enthalten. Unzugängliche Punkte höherer Ordnung sind solche, die
durch unzugängliche Gerade definiert werden.
Alsdann sind die folgenden Aufgaben zu lösen:
I. Von einem gegebenen zugänglichen Punkt P eine Gerade
nach einem unzugänglichen Punkt zu ziehen, der als Schnitt-
punkt von zwei zugänglichen Geraden 6, 6, gegeben ist.
Man ziehe durch P zwei beliebige Transversalen AB, und AВ
nach den beiden gegebenen Geraden und durch den Punkt
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1) Schon J. H. Lambert, Freye Perspective (2. Aufl., Zürich 1774) II,
p. 172 löst Aufgaben wie die Verbindung unzugänglicher Punkte, wie später
auch Steiner 1. c. und G. Lamé (Examen des differentes méthodes employées
pour résoudre les problèmes de géom. Paris 1818). S. ferner: A. Witting,
Geometr. Konstr. insbesondere in begrenzter Ebene. Programm Dresden 1899.
P. Zühlke, Ausführung elementar-geometrischer Konstruktionen bei ungünstigen
Lageverhältnissen. Progr. Charlottenburg 1900.