128 Vierter Teil. Höhere algebraische und transzendente Konstruktionen.
(f₁² + f½ ²)
fuffifif+f22fi**
Den Nenner kann man auch mit Rücksicht auf die Eulerschen ¹)
Formeln
f₁ x + f₂ y + fs
=
2f
fix + fizy+fis= fi
abgesehen vom Vorzeichen schreiben:
f11 f12 f13
f21 f22 f23,
(i=1, 2, 3)
f31 132 133
wenn f, die Ableitung von f nach der homogen-machenden Variabelen
ist, die nachher wieder gleich Eins gesetzt wird, und f₁₁ usw. die zweiten
Ableitungen sind. Das ist also die Diskriminante des Kegelschnitts.
Jetzt können wir die Gleichung des gesuchten Kegelschnitts sofort
hinschreiben. Seien nämlich
ƒ‹, ƒë, ƒ³), ƒ³), ƒ (5), ƒ6 = 0
die Gleichungen der Kegelschnitte, welche durch je fünf der sechs
Punkte gehen, die also nur wenig voneinander unterschieden sind.
So sind auch die Krümmungen an nahe gelegenen Stellen dieser
Kegelschnitte nur wenig unterschieden, ebenso ihre Diskriminanten.
Sind 91, 92, 93, 94, 95, Q6 die Krümmungsradien an den sechs Punkten,
so ist *):
}f(2)
(3)
(x,y)
(x, y)
f=91
f(1)
(x,y)
(x, y)
f(1)
Q2
(x1,y1)
(72 Y2)
+03
f
(4)
(x, y)
(3)
C4
(3, 3)
f(s)
+05
f(5)
(x, y)
f(6)
(X, Ya)
(5)
96
(Xs, Ys)
f(6)
(6, Y6)
--
0
die Gleichung des gesuchten Kegelschnitts, denn erstens ist f(x, y)
abwechselnd positiv und negativ in den Punkten P1, P2, P3, P4, P5,
P, zweitens sind die Abstände der Punkte P, von ihren Polaren
proportional
子
​Q₁t
f(x₁, Yi): Qi
i
(i=1, 2, 3, 4, 5, 6)
also einander gleich. Dabei ist vorauszusetzen, daß die Diskriminante
nicht sehr klein ist, d. h., daß die sechs Punkte nicht nahe auf zwei
Geraden liegen.
Daß aber der gefundene Kegelschnitt wirklich die verlangte
Minimaleigenschaft hat, geht wieder daraus hervor, daß jede Variierung
desselben, welche einen Abstand verringert, mindestens einen ver-
größert; und das ist genau wie beim Kreise zu zeigen.
1) Mechanica 1736 II, §§ 106, 497. Calc. diff. § 225.
2) Das fand auf weniger einfachem Wege Böhmer 1. c., p. 35.