126 Vierter Teil. Höhere algebraische und transzendente Konstruktionen.
das sind aber die Gleichgewichtsbedingungen für die drei Kräfte
1(A), I(B), I(C). Dasselbe gilt natürlich allgemein bei n Punkten.
Für die konstruktive Ausgleichung einer Geraden aus mehr als
zwei oder eines Kreises aus mehr als drei, eines Kegelschnitts aus
mehr als fünf Punkten scheinen dem Bertotschen entsprechende ein-
fache Verfahren noch nicht gefunden zu sein. Sie würden, wenn
auch theoretisch von Interesse, doch praktisch schon zu kompliziert
sein, um wirklich angewendet werden zu können.
Zu sehr einfachen Ausgleichungen kommt man jedoch (wenigstens
bei einfacher Überbestimmung), wenn man nicht nach der Gaußschen,
sondern nach der Poncelet Tchebycheffschen Forderung ausgleicht: der
größte Fehler soll ein Minimum sein. Z. B. ist dann der ausgeglichene
Punkt zu drei Geraden der Mittelpunkt des einbeschriebenen Kreises;
denn will man irgendeinen von dessen drei Abständen durch Ver-
schieben des Punktes verkleinern, so vergrößert man damit immer
wenigstens einen der anderen; und die Mittelpunkte der anbeschriebenen
Kreise haben größere Abstände. Ebenso leicht findet man die aus-
geglichene Gerade zu drei Punkten ABC als Mittellot der kleinsten
Höhe des Dreiecks ABC. Denn bewegt man diese Gerade so, daß
einer der Abstände abnimmt, so wächst ein anderer, und die beiden
andern Mittellote haben nicht diese Eigenschaft.
Für den ausgeglichenen Kreis zu vier nahe konzyklischen Punkten
A, B, C, D bemerken wir, daß er gleiche Abstände von allen vier
Punkten haben muß. Hätten z. B. die Punkte A und B verschiedene
Abstände, so kann man unter Beibehaltung der Abstände von Cund
D den Kreis offenbar stets so variieren, daß wenigstens der größere
der Abstände von A und B kleiner wird. Außerdem müssen zwei
aufeinanderfolgende Punkte auf entgegengesetzten Seiten des Kreises
liegen, da man sonst in derselben Weise beider Abstände verringern
könnte. Daraus geht hervor, daß es nur einen Kreis der verlangten
Art geben kann: sein Mittelpunkt ist Schnitt der Mittellote der
Diagonalen AC, BD des Vierecks ABCD, sein Radius das arith-
metische Mittel der Abstände des Mittelpunkts von den vier Ecken.¹)
Ebenso leicht ist seine Gleichung hinzuschreiben. Sind
f(x, y) = 0, f2(x, y) = 0, f3 (x, y) = 0, f(x, y) = 0
die Gleichungen der vier Kreise BCD, ACD, ABD, ABC in der
Normalform + y²-2a,x2b.y + c = 0,
so ist
f(x, y)
=
f(x, y)
fi (XAYA)
+
f₁ (x, y)
(i=1,2,3,4)
0
=
f(x, y) fs (x, y)
f2 (BYR) fs (XcYc) f (XD₁YD)
die Gleichung des fraglichen Kreises, denn dieser Kreis hat gleiche
Potenzen, also auch gleiche Abstände von den vier Punkten, und die
1) Böhmer 1. c., p. 37.