120 Vierter Teil. Höhere algebraische und transzendente Konstruktionen.
Vor allem ist aber der besondere Kalkül und die besondere
Methode zu erwähnen, die Schubert a. a. O. für Fragen dieser Art
geschaffen hat. Die Methode besteht insbesondere in der Anwendung
des Prinzips von der Erhaltung der Anzahl ¹): Wenn ein algebraisches
Gebilde so viel Bedingungen unterworfen wird, daß nur eine endliche
Anzahl von Gebilden der betreffenden Art existieren, so wird diese
Anzahl entweder unendlich oder bleibt bei richtiger Zählung
unverändert, wenn die Bedingungen irgendwie spezialisiert werden.
Das ist ein Korollar des Fundamentalsatzes der Algebra, das aber in
dieser Allgemeinheit nicht ohne Vorsicht benutzt werden darf. Soll
z. B. die Anzahl der Transversalen zu vier gegebenen Geraden ABCD
bestimmt werden, so gebe man zweien (A, B) die spezielle Lage, daß
sie sich schneiden. Dann gibt es offenbar zwei und nur zwei Trans-
versalen, nämlich eine durch den Punkt (AB), eine in der Ebene
(AB); also gibt es auch bei allgemeiner Lage genau zwei, in spezi-
ellen Fällen (z. B. für vier Tetraederhöhen) unendlich viele.
Der von Schubert eingeführte Kalkül besteht in der Symbolik der
Bedingungen: Den Grundbedingungen, aus denen sich alle anderen
zusammensetzen, werden bestimmte feste Symbole beigelegt und mit
diesen Symbolen ähnlich wie im Logikkalkül) gerechnet¹). Z. B. be-
deuten 9, 9p, 9e die Bedingungen, daß eine Gerade durch eine ge-
gegebene Gerade bzw. durch einen gegebenen Punkt gehen bzw. in
einer gegebenen Ebene liegen soll; und g, 99, das eine Gerade zwei
gegebene Gerade schneiden bzw. eine gegebene Gerade schneiden und
durch einen gegebenen Punkt gehen soll; und g+9p, daß eine Ge-
rade entweder durch zwei gegebene Gerade oder durch einen gegebenen
Punkt gehen soll u. dgl.
Schließlich wird noch die Anzahl von Gebilden, welche einer
bestimmten Bedingung genügen, mit dem Symbol dieser Bedingung),
unbestimmte Bedingungen mit x, y, ... usw. bezeichnet. Es stellt
sich heraus, daß in dem so skizzierten Kalkül Addition, Subtraktion
und Multiplikation gelten, aber im allgemeinen nicht Division.
Mit diesen Hilfsmitteln gelingt es z. B. leicht zu zeigen, daß die
1) Schubert, Gött. Nachr. (1874), p. 274, (1875, 1877); Math. Ann. 10
(1876), p. 23, 351; 13 (1878), p. 430. In speziellen Fällen wurde das Prinzip
auch angewandt von L. Marcks, Math. Ann. 5 (1872), p. 27, Sturm, Math.
Ann. 7 (1874), p. 567, Jonquières, Brioschi Ann. VIII, p. 312, Hurwitz, Math.
Ann. 15 (1879), p. 8, Vahlen, Crelles J. 113 (1894), p. 348.
2) Bobillier, Gerg. Ann. 18 (1827 u. 1828), p. 320, Nr. 16; Steiner,
Crelles J. 2 (1827), p. 96, Nr. 10: Werke I, p. 128.
3) Über diese auf Lambert und Boole zurückgehende Disziplin vgl.
namentlich E. Schröder, Logikkalkül, Leipzig 1877, Algebra der Logik, Leipzig
1890-95.
4) Das Produkt von Bedingungen benutzte schon Halphen, Compt. rend.
76, p. 1074.
5) Schubert, Gött Nachr. 1874.