Kapitel III. Imaginäre Elemente. Realitätskriterien. Anzahlgeometrie. 119
stimmen. Ein Fall, in welchem die sämtlichen Grade gleich 2
sind und der Grad offenbar das Produkt der Grade der einzelnen
Gleichungen ist, ist dasjenige Problem, welches im n-dimensionalen
Raum dem Problem der zwei Transversalen zu vier geraden Linien
analog ist. Für diesen Fall kann man das vollständige System von
Gleichungen aufstellen ¹) und alle Gleichungen auf den zweiten Grad
zurückführen.) Für den allgemeineren Fall, daß die Gleichungen von
höherem Grade sind, läßt sich auf Grund einer sehr allgemeinen Grad-
bestimmung³) ein allgemeines Korrespondenzprinzip aufstellen, das
für viele geometrische Fragen mit Nutzen angewandt werden kann;
z. B. ergibt sich daraus der Satz: Sind go und ho die Ordnungen, 91
und h, die Klassen zweier ebenen algebraischen Kurven, so ist die
Verbindungsgerade zweier Punkte dieser Kurven und der zugehörige
Tangentenschnittpunkt
(goho+gh₂+ g₁h。 + g₁h₁) mal
konjugiert in bezug auf eine gegebene Linie zweiter Klasse.
Degeneriert diese in das Kreispunktepaar, so folgt, daß die beiden
Kurven im allgemeinen
gh₁+ g₁h + g₁h¸
gemeinsame Normalen haben.
1
Entsprechende Sätze gelten für algebraische Flächen und höhere
Mannigfaltigkeiten.4)
Hierher gehören ferner die Anzahl bestimmung der Doppel- und
Rückkehrpunkte und der Doppel- und Wendetangenten") algebraischer
Kurven, die Plückerschen Formeln 6), die Kleinsche Formel) für
reelle und imaginäre Singularitäten u. dgl.
1) Vahlen, Crelles J. 112 (1893), p. 306.
2) Pascal, Acc. Linc. mem. (4) V (1888), p. 375; s. auch Pascal, Die
Determinanten (deutsch von Leitzmann, Leipzig 1900), p. 121.
3) Vahlen, Crelles J. 113 (1894), p. 348. Ein spezielleres Korrespondenz-
prinzip benutzt Chasles in den Comptes rendus 1864 u. folg. Jahre; s. ferner
Schubert, Math. Ann. 12 (1877), p. 180. Salmon, Geom. of three dim. (1865),
deutsch von Fiedler, 3. Aufl. II (Leipzig 1880), p. 620. Zeuthen, Comptes
rendus, 1874.
4) Vahlen, Crelles J. 118 (1897), p. 251. Die Normalenzahl von einem un-
endlich fernen Punkte bestimmte schon Salmon (Cambr. and Dubl. Math. J. III,
1887, p. 47), von einem endlich fernen Punkte R. Sturm (Math. Ann. 7, 1874,
p. 567).
5) Plücker, System der analytischen Geometrie, Berlin 1835, p. 290;
Crelles J. 12 (1834), p. 105 Abh. I, p. 298. C. G. J. Jacobi, Crelles J. 40
(1850), p. 237 Werke III, p. 517. O. Hesse, Crelles J. 40 (1850), p. 260 u.
Jacobis Werke III, p. 543 Hesses Abh. p. 257.
6) Plücker, Liouv. J. 2 (1837) p. 11
316:
=
-
braischen Kurven, Bonn 1839.
=
=
Abh. I p. 334; Theorie der alge-
7) F. Klein, Erl. Ber. 1875, Math. Ann. 10 (1876), p. 199.