Kapitel III. Imaginäre Elemente. Realitätskriterien. Anzahlgeometrie. 117
Sind von den vier Punkten zwei konjugiert imaginär, so sind die
beiden Kegelschnitte reell oder imaginär, je nachdem, ob die zwei
reellen Punkte durch die gegebene Gerade und die Gerade der zwei
konjugiert imaginären Punkte nicht getrennt oder getrennt werden.
Man erkennt dies z. B., indem man die Figur projektiv so transformiert
denkt, daß die zwei imaginären Punkte die beiden Kreispunkte werden.
Wird auch das andere Punktepaar imaginär, so sind die beiden Kegel-
schnitte stets reell.
Für die Bestimmung eines Kegelschnitts aus vier Tangenten und
einem Punkt enthält die zweite Figur S. 116 die Entscheidung darüber,
wann die beiden Kegelschnitte reell, wann sie imaginär sind. Die
Gebiete sind mit i oder r bezeichnet, je nachdem, ob nach Annahme
des Punktes in ihnen die Kegelschnitte imaginär oder reell sind.
Die drei r-Gebiete stoßen an alle vier, die vier i-Gebiete an je drei
der vier Geraden an.
Sind von den zwei Tangenten zwei konjugiert imaginär, so sind
die beiden Kegelschnitte reell oder imaginär, je nachdem, ob die
beiden reellen Tangenten durch den gegebenen Punkt und den Schnitt-
punkt der gegebenen imaginären Tangenten nicht getrennt oder ge-
trennt werden.
Sind auch die beiden anderen Tangenten konjugiert imaginär,
dann sind die beiden Kegelschnitte stets reell.
Für den metrischen Fall ergibt sich daraus, da ein Brennpunkt
der Schnittpunkt von zwei durch die Kreispunkte gehenden Tan-
genten ist (s. S. 41), daß die zwei durch einen Brennpunkt, einen
Punkt und zwei Tangenten bestimmten Kegelschnitte reell oder imaginär
sind, je nachdem der Brennpunkt von dem anderen Punkt durch die
zwei Tangenten nicht getrennt oder getrennt wird; und aus dem
zweiten Fall, daß durch die zwei reellen Brennpunkte und einen
Punkt stets zwei reelle Kegelschnitte, nämlich eine Ellipse und eine
Hyperbel bestimmt sind. Die zwei reellen Brennpunkte und eine
Tangente bestimmen eine Ellipse oder Hyperbel, je nachdem ob die
Brennpunkte durch die Tangente und die unendlich ferne Gerade
nicht getrennt oder getrennt werden.
Für die Bestimmung eines Kegelschnitts aus drei Punkten und
zwei Tangenten ¹) ergibt sich das Kriterium: Es sind alle vier Kegel-
schnitte reell oder alle vier imaginär, je nachdem, ob die drei ge-
gebenen Punkte durch die zwei gegebenen Geraden nicht getrennt
oder getrennt werden. Werden zwei der drei gegebenen Punkte kon-
jugiert-imaginär, so werden von den vier Kegelschnitten zwei reell, zwei
imaginär; man erkennt das am einfachsten, indem man die zwei ima-
1) S. Schröter-Steiner, Kegelschnitte, 2. Aufl. (Leipzig 1876), p. 236;
3. Aufl. (Leipzig 1898), § 40.