116 Vierter Teil. Höhere algebraische und transzendente Konstruktionen.
punktepaar. Ebenso konstruiert man ein zweites; durch diese zwei
Paare ist das gesuchte bestimmt.
Bei den kubischen Konstruktionen sind noch ins Auge zu fassen
die Schnittpunkte des gegebenen Kegelschnitts mit einem durch fünf
Punkte bestimmten, falls sich unter diesen imaginäre befinden.¹)
Realitätskriterien.
Bei Konstruktionsaufgaben höheren als ersten Grades ist stets
zu untersuchen, bei welcher Lage der gegebenen Elemente die zu
konstruierenden Elemente reell, bei welcher sie imaginär sind, bzw.
wieviel reelle und wieviel imaginäre Lösungen es gibt.
Als Fundamentalkriterium ist einzuführen: „Das gemeinsame har-
monische zu zwei Paaren ist reell oder imaginär, je nachdem die
beiden Paare sich nicht trennen oder trennen." Hierauf sind alle
anderen Unterscheidungen zurückzuführen.
Auf Grund desselben und des Involutionssatzes S. 50, 51 ergibt
sich für die Aufgabe: „Durch vier Punkte und eine Tangente einen
Kegelschnitt zu bestimmen" die folgende Unterscheidung:
Hat man vier Punkte, von denen je drei nicht in einer Geraden
liegen, so kann der vierte Punkt mit einer beliebigen Geraden & in
bezug auf das durch die drei anderen Punkte bestimmte Dreieck in
zwei verschiedenen Lagen liegen. Durch drei Punkte wird nämlich die
Ebene in vier Gebiete geteilt, die in der Figur mit I, II, III, IV be-
zeichnet sind. Eine beliebige Gerade 6 kann nur durch drei von
diesen vier Gebieten gehen, während das vierte von ihr nicht ge-
troffen wird. Je nachdem keiner der vier Punkte in dem von G
III
II
IV
3
III
IV
II
i
T
nicht getroffenen Gebiet der drei andern liegt oder nicht, sagt man,
die vier Punkte liegen in elliptischer oder in hyperbolischer Lage in
bezug auf die Gerade G. Bei elliptischer Lage sind beide Kegel-
schnitte reell, bei hyperbolischer Lage beide imaginär. Die Richtig-
keit ergibt sich auch leicht, wenn man & in das Unendliche projiziert.
1) Vgl. insbesondere Smith, Ann. di math. (2) 3 (1869 u. 1870) p. 112.