Kapitel II. Transzendente Konstruktionen.
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dieser Kurven noch Lineal und Zirkel hinzu, so werden neue trans-
zendente Aufgaben lösbar; z. B. liefert die Gerade:
y = ax + b,
und die Sinuskurve:
=
y =
sin x,
die graphische Auflösung der Keplerschen Gleichung ¹):
sin x
=
ax + b,
eine Auflösung, die sehr leicht die Anzahl und die Grenzen der
reellen Wurzeln dieser Gleichung nach den Werten von a und b auf-
zufinden gestattet.
Analog sind die Gleichungen
In x = ax + b,
e + e
2
x
=
ax + b
usw. zu diskutieren.
Fernere Aufgaben und Fragen, die sich hier anschließen, sind:
Alle diejenigen Kurven er Ordnung zu definieren, welche die nte
Wurzelziehung oder welche die Winkel-n-teilung oder welche beide
Aufgaben mit dem Lineal allein zu lösen ermöglichen.
Dieselbe Frage für die Kurven niedrigster Ordnung, insbesondere
für zyklische Kurven, wenn Lineal und Zirkel oder nur der Zirkel
gebraucht werden soll.
Ermöglicht eine transzendente Kurve, welche das Wurzelausziehen
für jeden ganzzahligen Wurzelindex vermittelt, auch das Logarith-
mieren?
Die interszendenten Konstruktionen.
Als solche Operationen sind zu bezeichnen die Potenz mit einem
beliebigen nicht rationalen Exponenten: x und der Logarithmus für
eine beliebige Basis. Die erste kommt vermittels:
die zweite vermittels:
y ln x
"
log (y)
log nat y
log nat x
x
1) L. Euler (Introductio in analysin infinitorum, Lausanne 1748, II, Kap. 22,
p. 304 ff.; Considerationes cyclometricae, Novi Comm. Acad. Petrop. XVI, 160)
löst solche Gleichungen, wie
2 sin x = x,
π
2
x= - sin x
u. dgl., um so eine Art transzendenter Quadratur zu versuchen; hätte eine solche
Gleichung eine Wurzel
m
7, so wäre damit der Charakter der Zahl erkannt
n
worden.