Kapitel I. Wurzelziehung und Winkelteilung durch algebraische Kurven. 107
die Strecken P₁P, PP, PP, ihre Länge 1 beibehalten.
1 2
=
2
=..
Die Punkte P₁, P3, P5, ... beschreiben die Cevaschen Zykloiden. Die
von P, beschriebene liefert Dreiteilung, weil immer
3
P₁P¸ P₂ = ¹ P¸ P₂ P¸
2
3 3 2 4
ist; die von P, beschriebene gibt Fünfteilung, weil immer
P₁PPPPP
ist, usw. Die Gleichungen der Kurven sind:
r = 1
p
=
1 + 2 cos 2 q
r
=
1+2 cos 2 + 2 cos 49,
allgemein
r = 1 + 2 cos 29+ 2 cos 4q +
+ 2 cos 2kq,
oder
r =
sin (2k+1) 9
sin
da man sofort der Figur entnimmt:
=
&
P
Q Qi Qi
Q3
Q:
1+2 cos 2+2 cos 4+...+2 cos 2kq: sin (2k+1) p = 1: sin 9.
Kempe¹) verallgemeinert die Erzeugung der Pascalschen Schnecke
(s. S. 85): Verlängert man PQ
um QQ, OQ und beschreibt
bei festem P der Punkt Q den
Kreis, dann beschreibt Q₁ die
Pascalsche Schnecke; verlängert
man PQ, um Q1 Q2 0Q1, SO
beschreibt Q die Pascalsche
Schnecke zweiter Ordnung usw. Nun ist
also
=
LOPQOQP 20Q,P=4 0 Q, P = · · ·,
=
..
180°- POQ₁ = 30Q, P, 180°- POQ₂ = 50Q₂P usw.
Damit ist die Anwendung der Kempeschen Kurven zur Teilung in
3, 5, ..., 2+1 Teile vorgezeichnet. Eine zweite Reihe von Kurven
erhält man ebenso durch die Punkte Q1, Q, Qs', ..., für welche
QiQ' = P'Ò', Q₂'Q' = P'Q' usw.
ist. Infolgedessen ist
=
OP'Q' 30Q'P', OP'Q' = 70Q,'P' usw.,
1) Nieuw Archiv voor Wiskunde (2) I (1894). Mém. de Liège (2) XX (1898).
Loria 1. c., p. 339.