Kapitel I. Wurzelziehung und Winkelteilung durch algebraische Kurven. 105
Auflösungen dieser Aufgaben sind bisher nicht gegeben worden.
Doch ergeben sich solche durch projektive Verallgemeinerung der für
die metrische Aufgabe gegebenen Lösungen. Von diesen geben wir
im folgenden die wichtigsten.
Für die Wurzelziehung kommen die Parabeln und Hyperbeln
höherer Art:
y"x", y"x"= 1
in Betracht, ebenso die Clairautschen ¹) Kurven
pm
=
cos", cos" ❤
=
= 1,
die höheren Lemniskaten r,"r" 1 usw.
=
Mit jeder der genannten
Kurven kann man sowohl die mte wie die nte Wurzel aus einem
Streckenverhältnis konstruieren.
Denn, da m und n teilerfremd anzunehmen sind, kann man die
ganzen Zahlen h, k aus der Diophantischen Gleichung hm-kn — 1
m
=
bestimmen; hat man nun z. B. y" konstruiert, so erhält man daraus
m h
k+
1
n -
y y. Vy usw.
Für die Winkelteilung kann man die allgemeinen Strophoiden *)
benutzen, deren Gleichung in bipolaren Winkelkoordinaten
my + ny + p = 0
lautet; der spezielle Fall m2n, p = 0 ist der der gleichachsigen
Hyperbel (s. S. 38), ein anderer Spezialfall m=-2n,
p0 liefert die spezielle Strophoide (s. S. 91 Anm. 1).
Eine solche allgemeine Strophoide gestattet einen
Winkel zu n-teln, wenn außerdem der Winkel n
bekannt ist; denn dann findet man durch die Kurve.
p
4
=
n
p m
+ ዎ
n
und aus 9 ergibt sich
m
n
m
h
x=
·kg +
1
n
n
ዎ; also
❤.
n
p
m
Ebenso erhält man Winkel-m-teilung, wenn ein gegebener Winkel
Р
ist. Die Winkel bzw. werden durch die Richtungen der Tan-
Ρ
m
n
genten in den beiden Polen gegeben, die man sich konstruieren kann.
Mit Rücksicht auf den Winkel der zwei Radien eines Kurvenpunktes
1) A. Clairaut, Misc. Berol. IV (1734); Loria l. c., p. 321.
2) W. W. Johnson, Am. Journ. III (1880), p. 320. E. Barnes, J. Hopk.
Univ. Circ. II (1883). Loria 1. c., p. 70.