Kapitel III. Metrische kubische Konstruktionen.
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festzustellen. Dagegen löst ein Kegelschnittzirkel sowohl in beliebiger
Anwendung als in der Beschränkung des Descartesschen Satzes die
kubischen und nur die kubischen Aufgaben, ist also das diesen Auf-
gaben genau angemessene Lösungsmittel.
Spezielle kubische Kurven zur Würfelvervielfachung
und Winkeldreiteilung.
Zur Würfelvervielfachung sind außer der Zissoide die schon er-
wähnte kubische Parabel (y = x³) und die semikubische (Neilische)
Parabel y=x3 besonders geeignet. Für letztere und die Zissoide
y²
gibt Matthiessen eine mechanische Erzeugung.¹)
Andere Kurven dieser Art sind Clairauts Mediatrixkurven 2):
rm cos"
=
const.,
welche die fragliche Aufgabe lösen, wenn eine der Zahlen m, n den
Wert 3, die andere einen der Werte 2 hat.
Die Kurve für m = 1, n
2, also
r cos² Ф const.,
ist nach P. Tannery 3) die, welche Eudoxus von Knidos benutzte, um
die stereometrische Lösung des Delischen Problems des Archytas (s.
S. 77 Anm. 12) in eine planimetrische überzuführen. Projiziert man
nämlich die Schnittkurve des Kreisringes
x² + y² + z² = a √ x² + y²
a√
und des Kegels
a²x²
x² + y²+ z²=
b2
auf die Ebene z = 0, so erhält man die
a4
a² (x² + y²) = 2 x¹, also
Kurve
r cos² o
b2
Die Kurve (m
=
1, n
-
-
3), also
kannte Kepler.4)
r = c cos³ Ф
1) L. Matthiessen, Arch. d. Math. u. Phys. (1) 48 (1868), p. 229.
2) A. Clairaut, Misc. Berol. IV (Berlin 1734). Loria 1. c., p. 316; etwas
speziellere Kurven hatte Descartes, Géom., p. 17 (die er auch graphisch er-
zeugt); ferner Caraccioli, De lineis curvis liber (Pisa 1740), p. 112.
3) Mém. de la soc. d. sc. Bordeaux (2) II, 1878; s. auch G. Loria, Le
scienze esatte nell' antica Grecia I, Nr. 51, 52, 73.
4) Astronomia nova (Prag 1609), p. 337. S. auch V. Viviani, Quinto libro
di Euclide o Scienza universale delle proporzioni (Florenz 1647), p. 275-280.
A. Wittstein (Archiv (2) XIV, 1896, p. 109). G. de Longchamps, Essai sur la
géometrie de la règle et de l'équerre (Paris 1890), p. 126. G. Loria, Kurven, p. 317.