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Dritter Teil. Kubische Konstruktionen.
peu naturelle...¹) Nous démontrerons qu'en se servant de cette courbe
auxiliaire (de second ordre) on résout tous les problèmes cubiques
et biquadratiques avec la règle et le compas seulement, en les rame-
nant, pour ainsi dire, dans les limites de la géométrie élémentaire.
=
..
=
Daß eine Gleichung nten Grades a + bx +... +x" 0 sich durch
eine Gerade und eine zu zeichnende Kurve nter Ordnung, z. B. durch
die Gerade y = 0 und die Parabel y a + bx + + lösen läßt,
versteht sich von selbst. Aber die Smithsche Behauptung bezieht
sich wohl auf den Fall, daß die Kurve nter Ordnung eine feste, ge-
zeichnet vorliegende ist. Daß sich alle Irrationalitäten nter Ordnung
durch die Koordinaten der Schnittpunkte von Geraden mit einer fest
gegebenen (und beliebigen) Kurventer Ordnung rational darstellen
lassen, ist zweifelhaft und noch nicht einmal für den Fall n 3
bewiesen. Man kann sehr leicht einige Auflösungen kubischer Glei-
chungen durch spezielle kubische Kurven angeben.2) Es sei erstens
die Kurve
y
=
x3
gegeben, die im metrischen Falle eine kubische Parabel ist, dann
wird die vorgelegte kubische Gleichung
x² + ax + b = 0
natürlich durch die Schnittpunkte der Kurve mit der Geraden
y + ax + b = 0
gelöst. Es sei zweitens die Kurve
y² = x³
gegeben, die im metrischen Fall eine semikubische oder Neilische
Parabel ist, dann wird die gegebene kubische Gleichung
t3+at+b=0
durch die Schnittpunkte der Kurve mit der Geraden
1+ ax + by=0
geliefert, von deren Koordinaten die Wurzeln t vermittels der Sub-
stitution
abhängen.
t
==
x
Y
X
(P = 1/1, P = 1/1)
y
1) Vgl. auch Chasles (Par. C. R. 41, 1855, p. 678): Employer d'autres
courbes d'un ordre supérieur serait une faute de méthode
Jahresber. deutsch.
2) F. London, Schlömilchs Ztschr. 41 (1896), p. 129.
Math. Ver. IV (1894/95), p. 163. Newton (Arithmetica universalis, p. 212.
Appendix de aequationum constructione lineari) löste kubische und biquadra-
tische Gleichungen mit Hilfe der Konchoide und Lineal und Zirkel. S. ferner
Maclaurin, Algebra, frz. Paris 1753, p. 387.