Kapitel II. Metrische kubische Konstruktionen.
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leichter sie sich mechanisch beschreiben läßt; für ihn steht die Kon-
choide hinsichtlich der Einfachheit der Beschreibung keiner Kurve
außer dem Kreise nach. Betrachtet man die Auflösung der biqua-
dratischen Gleichung mittels Kurven als ein Kapitel des graphischen
Rechnens, mit dem Ziele, für Techniker, Rechner usw. prak-
tische Auflösungsmethoden zu liefern, wie es heute in viel voll-
kommenerer Weise durch die Hilfsmittel der Nomographie (s. u.) er-
reicht wird, so ist der Newtonsche Standpunkt vollkommen berechtigt.
Von demselben Standpunkte aus wird natürlich der größte und schönste
Teil der Algebra, alles was sich auf die Auflösung der Gleichungen
durch Radikale bezieht, ganz unwichtig, um nicht zu sagen wertlos,
im Vergleich etwa mit der regula falsi oder ähnlichen Methoden der
numerischen Auflösung. Durch diesen Vergleich wird es deutlich,
daß der Wert des Descartesschen Satzes nicht nach der praktischen
Seite, sondern vielmehr darin liegt, daß dadurch ein bestimmter
algebraischer Zusammenhang erkannt wird; ganz ähnlich dem, daß
Wurzeln kubischer und biquadratischer Gleichungen durch Radikale
darstellbar sind; im Descartesschen Satze sind sie durch die Schnitt-
punkte von Kegelschnitten, die noch gewissen Beschränkungen unter-
worfen werden dürfen, darstellbar. Während man in der Algebra
aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten die eine eliminiert, wird
hier umgekehrt eine Gleichung mit einer Unbekannten auf ein System
von zweien zurückgeführt, die aber noch in vorgeschriebener Weise.
von spezieller Art sind. Andererseits läßt sich eine kubische Glei-
chung auch als Resultat der Elimination einer Unbekannten aus einer
Gleichung dritten und einer ersten Grades ansehen. Smith ¹) äußert
sich über diese Möglichkeit wie folgt:
On admet ...
que tout problème qui n'a que n solutions et qui
n'est pas transcendental, peut se résoudre par des intersections de droites
et de courbes de l'ordre n. Et en effet, la vérité de ces théorèmes
paraît découler des premiers principes de l'Algèbre. Mais . . . il se
présente un choix de méthodes . . .; ainsi l'on peut faire dépendre
la solution de tout problème cubique ou biquadratique, soit des inter-
sections de courbes du troisième ou du quatrième ordre par des
droites, soit des intersections mutuelles de courbes de second ordre,
puisqu'on a la même évidence algébrique de la généralité absolue des
deux méthodes. On c'est la dernière de ces deux méthodes qui parait
la plus simple, et qui a été, à juste titre, préférée par les géomètres.
Ainsi, l'on a ramené la recherche des points d'intersection d'une droite
par une courbe du troisième ou du quatrième ordre à la recherche plus
simple des points d'intersections de deux coniques, tandis que personne,
que nous sachions, n'a suivi la marche inverse, qui à la vérité serait
1) 1. c. p. 1.
Vahlen: Konstruktionen u. Approximationen.
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