96
Dritter Teil. Kubische Konstruktionen.
Diese Konstruktion regulärer Polygone mit Hilfe der Ellipse ist
besonders deshalb naturgemäß, weil die Hilfspunkte To, T₁... geradezu
die Teilpunkte für die Ellipse in gleichen Sektoren sind.
(6) In einen gegebenen Winkel eine gegebene Strecke so zu
legen, daß ihr Mittellot durch einen gegebenen Punkt geht.¹)
(7) Dreiteilung des kompleten elliptischen Integrals erster
Gattung.2)
Für u= - K, v = K' sind dnu +
dn'v
cn'v 2
-
dn'v
2 "
-
+ Wurzeln von
3
-
X4 x² + (k² — k'²) x
-
O usw.
16
1 dnu 1
2 "
cnu
9
3
2
S. ferner E. Lampe, Geometrische Aufgaben zu den Gleichungen
dritten und vierten Grades.
Über die Verwendung kubischer Kurven.³)
Die Alten betrachteten die Kegelschnitte als die naturgemäßen
Lösungsmittel für kubische Aufgaben, welche sie als „problemata
solida (700ẞinuara oτεQεα)" wohl unterschieden neben die „pro-
blemata plana (лoоßińματα ilлɛda)" stellten, die durch Zirkel und
Lineal gelöst wurden. Und man verlangte sogar, daß nur bei Kon-
struktionen, deren Lösung mit Zirkel und Lineal nicht gelingt, die
Kegelschnitte, und erst bei deren Unzulänglichkeit noch höhere
Kurven zugezogen würden. So galt es als ein Fortschritt, als
Menächmus die Aufgabe der Würfelverdoppelung, die früher durch
Kurven dritter und vierter Ordnung gelöst wurde, durch Kegelschnitte
löste. Auf demselben Standpunkte steht Descartes, für den die Kurven
um so einfacher sind, je niedriger ihr Grad ist; nicht je leichter sie
zu zeichnen sind oder die den Beweis oder die Konstruktion einer Auf-
gabe besonders leicht machen.4)
Ganz anders Newton 5), der mehr die wirkliche praktische Aus-
führung im Auge hat; für ihn ist eine Kurve um so einfacher, je
Trisektion. Diese Konstruktionen von Pascal, Amaldi, Affolter, Feldblum setzen
die Gaußsche Theorie der Kreisteilungsgleichungen voraus, während die oben
gegebenen nur auf dem eingangs bewiesenen elementaren Satz beruhen.
1) Kästner, Geometrische Abhandlungen I, p. 289.
2) Hoppe, Arch. Math. Phys. 56 (1874), p. 111.
3) Vgl. auch A. Favaro, Notizie storico-critiche sulla costruzione delle
equazioni, Modena 1878; Appendice Modena 1880.
4) Geometria p. 18. Er bezeichnet es geradezu als geometrischen Fehler,
Kurven von höherem Grad als nötig anzuwenden.
5) Arithmetica universalis, Appendix de aequationum constructione linearii