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Dritter Teil. Kubische Konstruktionen.
(2) Von einem Punkte M(x,y,) die Normalen auf einen gegebenen
Kegelschnitt zu fällen. Apollonius ¹) löste diese Aufgabe durch eine
Hyperbel mit zu den Kegelschnittachsen parallelen Asymptoten, die
durch M und die vier Fußpunkte, bei Ellipse und Hyperbel noch
durch den Mittelpunkt O geht. Da Pappus ) für den Fall der
Parabel x² = 2py die Anwendung eines Kegelschnittes tadelt, ist an-
zunehmen, daß er die Lösung der Aufgabe durch den Kreis
1
x² + y² — (Y₁ + p) y — — x, x = 0
kannte, der durch die drei Fußpunkte und den Scheitel hindurchgeht.
Hieran läßt sich eine Diskussion der biquadratischen Gleichung
knüpfen.") Für Ellipse und Hyperbel wurde das Normalenproblem
mittels eines Kreises gelöst von De la Hire ¹) und Catalan 5), ein-
facher und eleganter von Joachimsthal 6): die andern Endpunkte der
vom Scheitel S senkrecht zu den vier Normalen gezogenen Sehnen
liegen auf dem Kreise
2
х
e³ (x²+ y²— a²) — 2 { % (a²x¸²—b³ y₁³) + 2 α x₁y₁y — (a²x²+b²y‚²)};
=
a
2
seine gemeinsame Sehne mit dem Hauptkreise x+y=a² berührt
den Kegelschnitt in einem Punkte T, so daß ST senkrecht zu OM
ist. Die Hauptscheitel der Ellipse haben zu ihm die Potenzen (2)
und (2), wonach er ebenfalls leicht zu konstruieren.”)
(3) Auf das Normalenproblem für den Kegelschnitt läßt sich jede
biquadratische Gleichung zurückführen. Ist z. B. im Fall der Ellipse
die biquadratische Gleichung so transformiert, daß B D ist, so
muß man vom Punkte
X1
=
EVA
A
e²
E
y₁ = T V AC + E
A C+E' Y1 b
=
die vier Normalen fällen, und die andern Endpunkte der vom Scheitel S
auf sie senkrecht gezogenen Sehnen aufsuchen; ist x', y' einer von
diesen, dann ist:
eine Wurzel.
t = % : ( 1 − 2) = (1 + 2 ) : %/%
1) Kegelschnitte, Buch V.
a
y'
a b
2) 1. c., p. 272. Vgl. hierzu Zeuthen, Die Lehre von den Kegelschnitten
im Altertum. Deutsch von R. v. Fischer-Benzon, Kopenhagen 1886, S. 258.
3) Vahlen, Arch. d. Math. u. Phys, (3) III (1901), p. 120.
4) Nouveaux éléments des sections coniques, Paris 1679, p. 400.
5) Nouv. Ann. de math. (1) 7 (1848), p. 332.
6) Crelles J. 26 (1843), p. 172, 48 (1854), p. 377.
7) E. Lucas, Nouv. ann. (2) XV (1876). p. 1, XIX (1880), p. 279. S. ferner
Painvin, ib. (2) IX (1870), p. 348; Smith 1. c., p. 145.