Kapitel III. Metrische kubische Konstruktionen.
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Statt zweier Zahlen nehmen wir drei Zahlen a, b, c; dann ver-
steht man unter ihren arithmetisch-harmonischen Mitteln die folgen-
den drei:
a+b+c
3
ab + ac + b c
a+b+c
3 abc
ab + ac + bc'
(1)
deren erstes das arithmetische, deren letztes das harmonische Mittel ist.
Bei reellen Zahlen bilden diese Mittel in der angegebenen Reihen-
folge eine fallende Reihe, wie sofort aus den beiden Identitäten:
(a+b+c)² − 3 (ab+ ac + be) = — [(a − b)² + (a−c)² + (b−c)²] > 0,
-
-
(ab+ac+bc)² −3(a+b+c) abc = — [(ab—ac)²+(ab—be)²+(ac—be)*]>0
hervorgeht. Daraus folgt noch, daß das Produkt der drei Mittel,
also abc, kleiner ist als der Kubus des größten, nämlich des arith-
metischen, und größer als der Kubus des kleinsten, nämlich des har-
monischen Mittels. Daraus ergibt sich die Ungleichung:
a + b + c
>Pales
3 abc
abac + be
3
(2)
Nimmt man in der Ungleichung (2) statt a, b, c ihre ten Potenzen
(v>0), so folgt:
b" c²
1
a" + b² + c'" ) " > } abc > ( a " + b = " +
3
Läßt man v gegen O konvergieren, so ergibt sich:
1
V
a² + b² + c² ) = √ √ abc,
lim ("'++" -
v=0
3
1
(3)
so daß also das arithmetische, geometrische, harmonische Mittel der
drei Zahlen a, b, c die den Werten v = 1, 0, 1 entsprechenden
Fälle des ten „Potenzmittels:
-
a" + b² + c²
sind.
3
Insbesondere erhält man die oben erwähnten Mittel für zwei
Zahlen a und b, wenn man c = a nimmt, wenn also, wie wir sagen
wollen, a das doppelte Gewicht wie b bekommt. Nimmt man in (2)
c = a, so ergibt sich:
2a+b
3
b > √ a²b>
3 ab
a+2b'
Ebenso wichtige Bemerkungen, wie die Zurückführung der Würfel-
vervielfachung auf zwei geometrische Mittel, sind auch bei dem
Vahlen: Konstruktionen u. Approximationen.
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