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Dritter Teil. Kubische Konstruktionen.
rein geometrische Überlegungen ist die Lösbarkeit eines allgemeinen
kubischen Problems mit Hilfe eines festen Kegelschnitts nebst Zirkel
und Lineal zuerst von Smith 1) und Kortum 2) gezeigt worden, mit
elementaren analytisch-geometrischen Mitteln von dem Verfasser ³)
Vorbereitende Bemerkungen und ältere Lösungen kubischer Aufgaben.
Die Aufgabe der Würfelvervielfachung 4) ist von Hippocrates
(ca. 420 v. Chr.) auf die Einschaltung von zwei mittleren Propor-
tionalen zurückgeführt worden. 5) Ist nämlich a die Kante des ge-
gebenen, x die Kante des gesuchten Würfels, das gegebene Ver-
hältnis, so ist:
x3
=
b
a
·
b
a
a³, also xa²b,
oder, wenn noch y = ab² gesetzt wird: -
a:x= =x:y
1
y: b.
2a+b
3
und
a+2b
3
die zwei arithmetischen Mittel
x und y heißen die zwei geometrischen Mittel zwischen a und b;
entsprechend sind
und
3ab
a +26
und
3 ab
2a+b
die zwei harmonischen Mittel. Diese Mittel
treten später (bei Nikolaus von Kusa, Snellius, Gregory, Orontius.
Finäus, Huyghens) in merkwürdige Beziehung zum Rektifikations-
problem. Deshalb wollen wir sie gleich an dieser Stelle näher be-
trachten.
-
=
1) H. J. C. Smith, Mémoires sur quelques problèmes cubiques et biqua-
dratiques. Annali di Mat. (2) 3 (1869), 112–165, 218-242 Coll. math. Papers
II, p. 1.
2) Kortum, Über geometrische Aufgaben dritten und vierten Grades.
Bonn 1869. Beide Schriften waren zur Bewerbung um den Steiner-Preis (1868)
der Berliner Akademie eingereicht worden; der Preis wurde unter ihnen geteilt.
3) Über kubische Konstruktionen. Arch. d. Math. u. Phys. (3) III (1901), p. 112 ff.
4) Über den sagenhaften Ursprung dieses Problems vgl. den Brief des
Eratosthenes (3. Jahrh. v. Chr.) an den König Ptolemäus, M. Cantor, Gesch. d.
Math. I (1880), p. 181. Die Auflösungen der Alten überlieferte Eutokius
(6. Jahrh. n. Chr.) in seinem Kommentar zu Archimedes Schrift über Kugel und
Zylinder. Über die Bezeichnung,,Delisches Problem" s. Cantor I, p. 198.
v. Wilamowitz-Moellendorff, Gött. Gel. Nachr. 1894, Nr. 1. Über seine
Geschichte s. J. Werner, Commentarius seu paraphrastica enarratio in undecim
modos conficiendi ejus problematis, quod cubi duplicatio dicitur. Norimbergae
1522. N. R. Reimer, Historia problematis de cubi duplicatione. Gottingae 1798.
O. Terquem, Notice historique sur la duplication du cube. Bull. de biblio-
graphie, d'histoire et de biographie mathématiques II, p. 20. (Auszug aus Reimers
Schrift.) Biering, Historia problematis cubi duplicandi. Kopenhagen 1844.
(Nach Cantor IV, p. 28 ein Plagiat der Reimerschen Schrift.) Ambros. Sturm,
Geschichte des Delischen Problems. Linz Progr. 1895, 96, 97.
5) S. Cantor I, p. 180.