Kapitel III. Metrische kubische Konstruktionen.
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Mit
kubische, aber nur spezielle biquadratische Gleichungen, durch Kegel-
schnitte gelöst hatten.¹) Die Parabel ist bei seiner Auflösung sogar
eine „feste"; d. h. ihre Gleichung von der aufzulösenden Gleichung
unabhängig. Aber Fermat hebt diesen Umstand nicht hervor.
Bewußtsein wurde die Beschränkung auf einen festen und beliebigen
Kegelschnitt und sogar auf ein endliches Stück eines solchen von
Descartes 2) vollzogen. Er begnügt sich damit, die reduzierte biqua-
dratische Gleichung x¹+ax² + bx + c = 0 mit Hilfe einer festen
Parabel y = p² und des Kreises
x² + y²+bp²x+
ap² 1
p
y+cp=0
zu lösen, dessen Mittelpunkt offenbar mit Lineal und Zirkel (oder
bloß Streckenübertrager) konstruierbar ist. Die Lösung der reduzierten
kubischen Gleichung x+ax+b=0 geht für c=0 aus der obigen
hervor. Da die vier Wurzeln a₁, X2, X3, X4 der biquadratischen Glei-
chung die Bedingung x₁ + x2 + x3 + x = 0 erfüllen, erhält man als
Kriterium dafür, daß vier Punkte einer Parabel auf einem Kreis liegen:
daß ihr Schwerpunkt auf der Parabelachse liegt.3) Girard ¹) führte
die Auflösung kubischer Gleichungen auf Winkeldreiteilungen zurück,
die er mit einer Hyperbel vollzog. Später löst Newton 5) die
kubische Gleichung mit einer festen Ellipse oder Hyperbel, ebenso
De la Hire 6) die biquadratische, aber in unzulänglicher Weise. Durch
Alfhrist; s. Woepcke, Recherches sur l'hist. des sc. math. chez les Orientaux
(Paris 1875), p. 28 ff.
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1) Spezielle Probleme, die aber auf allgemeine (d. i. den allgemeinen äqui-
valente) Gleichungen dritten und vierten Grades führten, hatten natürlich
ohne Bewußtsein dieser allgemeinen Bedeutung schon Archimedes (Teilung
einer Kugel in gegebenem Verhältnis, 1. c. I, p. 215, III, p. 152) und Apollonius
(Von einem Punkte die Normalen auf einen Kegelschnitt zu fällen. Kegel-
schnitte, Buch V) gelöst.
2) Geometria 1637 Appendix de cubicarum aequationum resolutione I,
p. 345 ff. Geometria I, p. 85 ff., 325. Van Schooten in seinen Erläuterungen
dazu. S. Cantor II, p. 736, 737. Auch R. F. de Sluse (Mesolabum, Leodii
Eburonum, 1659) ist hier zu erwähnen.
3) S. auch Colson, Phil. Trans. Nr. 309, p. 2353; ferner R. Hoppe, Arch.
Math. Phys. 56 (1874), p. 110, 69 (1883), p. 216 (für komplexe Wurzeln). Sind
u + i v
u + i w
die Wurzeln der reduzierten biquadratischen Gleichung
2
9
2
x²+ax² + bx + c
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= 0, so sind u, v, w zu finden aus
26
26
"
w² = u² + 2 a
И
u
´u® + 2 au¹ + (a² — 4 c) u² — b³ =0, v² = u² ·+2a +
also mit Parabel und Zirkel. A. Adler, Österr. Ingen. Archit.-Ver. Ztschr. 42
(1890), p. 146.
Leiden 1884.
4) Invention nouvelle en algèbre 1629. 2. Aufl. v. H. Bierens de Haan,
5) Arithmetica universalis, Cantabrigiae 1707, p. 322.
6) Nouveaux élémens des sections coniques, Paris 1679, p. 400.