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Dritter Teil. Kubische Konstruktionen.
struktionsmittel gleichberechtigt neben Zirkel und Lineal wurde in
älterer Zeit die sog. „Einschiebung" 1) angesehen, d. h. das Aufsuchen
einer Strecke gegebener Länge, deren Endpunkte auf gegebenen (meist
geraden) Linien liegen und die (verlängert) durch einen gegebenen
Punkt geht. Wo es ging, führte man Einschiebungen mit Zirkel und
Lineal aus.2) Daß es nicht immer ging, nötigte wohl zuerst dazu die
Konchoide zu betrachten, beschrieben von einem Endpunkt einer
Strecke, dem Intervall, deren anderer auf einer festen Geraden, der
Leitlinie, gleitet und deren Verlängerung durch einen festen Punkt,
den Pol, geht. Nicomedes verdankt man die Einführung dieser Linie,
und er konstruierte auch (nach Proklus) ein Instrument (den „Kon-
choidographen"), um sie zu zeichnen, das älteste solche Instrument
außer Lineal und Zirkel. Die Hauptideen der Konstruktionen der
Alten, die hauptsächlich von Archimedes (1. c.) und Pappus (1. c.)
überliefert sind, finden sich in späteren Arbeiten von Grégoire, Pascal,
Chasles u. a., wie wir sehen werden, wieder.
Einen wirklichen Fortschritt bezeichnet dagegen Vieta, der in
seiner „Effectionum geometricarum canonica recensio" die heute sog.
algebraische Geometrie schuf und auf Grund derselben und vermöge
seiner algebraischen Kenntnisse in dem „Supplementum Geometriae"
zu dem wichtigen Haupt- und Schlußresultat kommt, daß jede kubische
oder biquadratische Aufgabe, wenn sonst nicht lösbar, auf eine Würfel-
vervielfachung oder auf eine Winkeldreiteilung zurückzuführen sei.³)
Den nächsten Fortschritt machte Fermat 4), indem er die allgemeinen
kubischen und biquadratischen Gleichungen durch eine Parabel und
einen Kreis löste, nachdem schon vorher die Araber") die allgemeine
und des Kegels
x² + y² + z²
ist (x, y, z) ein Schnittpunkt, dann ist
x²;
r = √ x² + y² + z², s = √ x² + y².
1) S. Zeuthen, Geschichte der Mathematik im Altertum und Mittelalter,
Kopenhagen 1896, p. 80.
2) Z. B. Appollonius in seinen zwei Büchern über Einschiebungen.
3) Dies Resultat hatte also nicht erst Descartes, wie Enriques (Fragen II,
p. 266) meint (s. auch Cantor II, p. 539).
4) Ad locos planos et solidos isagoge. Oeuvres publ. par Tannery et
Henry I, p. 91, spez. p. 107 III, p. 85 spez. p. 99. Daß Fermat diese Schrift
vor Descartes' Géometrie publiziert hat, geht aus der „Eloge de Monsieur de
Fermat, Conseiller au Parlement de Toulouse" (Le Journal des Sçavants I (1665),
Amsterdam 1679, p. 81) hervor, wo es heißt: .. une introduction aux lieux
plans et solides; qui est un traité analytique concernant la solution des pro-
blèmes plans et solides, qui avait été veu devant que M. Descartes eût rien
publié sur ce sujet."
99...
5) Omar († 1123), Mémoire sur les démonstrations des problèmes de l'algèbre,
publ. et trad. par Woepcke (Paris 1851), p. 46. Abul Wafa (940—998), Kitab