Kapitel III. Metrische kubische Konstruktionen.
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Die Fundamentalaufgabe kann durch die metrisch spezialisierte
ersetzt werden: Das Poltripel (oder die vier Schnittpunkte) eines
festen gezeichnet vorliegenden Kegelschnitts und eines durch drei
Punkte bestimmten Kreises zu konstruieren.
Daß die projektive kubische Fundamentalaufgabe durch die
metrische lösbar wird, erkennt man, wenn man in der auf S. 68 ge-
gebenen Aufgabe für die Punkte I, J, die zu den beiden Kreispunkten
in bezug auf ', " polaren Punkte nimmt. Legt man dann ½ durch
diese Punkte, so geht 2 durch die Kreispunkte, ist also ein Kreis.
Natürlich darf der gezeichnet vorliegende Kegelschnitt kein Kreis
sein, wenn man die konstruierbaren Kegelschnitte auf Kreise beschränkt.
Historisches über ältere Lösungen kubischer Aufgaben.
Solche Aufgaben, namentlich die beiden Probleme der Alten ¹):
die Dreiteilung eines Winkels) und die Verdoppelung eines Würfels
(Delisches Problem")) sind schon in sagenhafter Vorzeit und seitdem durch
zwei Jahrtausende Gegenstand der Behandlung gewesen. Man be-
diente sich der verschiedensten Lösungsmittel; so wurde außer den
Kegelschnitten¹) eine Kurve dritter Ordnung (die Cissoide des Diocles")),
eine Kurve vierter Ordnung (die Conchoide des Nicomedes, ca. 250
—150 v. Chr.)) und eine Kurve des Eudoxus 7) usw., ferner mecha-
nische Apparate: das Mesolabium des Eratosthenes ), ein von Euto-
kius dem Plato (429-347 v. Chr.) zugeschriebener, aber wohl von
Eudoxus stammender 9) Apparat 10), Lösungen durch Versuche (Heron)¹¹),
räumliche Konstruktionen 12) usw. herangezogen. Geradezu als Kon-
1) Über diese und das dritte, das uns später beschäftigen wird, vgl.
Montucla, Histoire des récherches sur la quadrature du cercle avec une ad-
dition concernante les problèmes de la duplication du cube et de la trisection
de l'angle. Paris 1831.
2) Vgl. die Bibliographie von E. Wölffing in den Math.-nat. Mitt. d.
math.-nat. Ver. in Württemberg 1900, 1902 u. Math. Bücherschatz (Leipzig 1903).
3) Über die in das dritte Jahrhundert v. Chr. zurückreichende Geschichte
dieses Problems vgl. Archimedis opera ed. Heiberg (Leipzig 1881) 3, p. 102 ff.
4) Menächmus (ca. 300 v. Chr.), s. Cantor I, p. 197.
5) S. Cantor 1, p. 306.
6) S. Cantor I, p. 302.
7) S. P. Tannery, Mém. de Bordeaux, (2), II (Paris 1878), p. 277 ff.
8) S. Cantor I, p. 285. Vietas „Pseudomesolabium" (1596) behandelt die
Reduktion der Würfelverdopplung auf andere Aufgaben.
9) S. M. Simon, Gesch. d. Math. im Altertum (Berlin 1909), p. 201.
10) S. Cantor I, p. 195.
11) S. Cantor I, p. 317.
12) Archytas v. Tarent (ca. 430 v. Chr.); überliefert von Eutokius im Kom-
mentar zu Archimedes, Über Kugel und Zylinder; Archimedes ed. Heiberg III
(Leipzig 1881), p. 98 ff. S. Cantor I, p. 196. Er konstruiert die zwei Mittel r,
s zwischen ab, für die also r²=as, s²=br ist, durch Schneiden des Zylinders
x² + y²=ax, des Kreisringes
x² + y² + z² = a√ x² + y²